Basis (Vektorraum)

A Basis is in da Algebra a Teimenge vo am Vektorraum. Andas gsagt is a Basis a Menge/Famüllie vo linear unabhängige Vektoan, de wäi an Vektorraum eazaigt.

Definition

A Menge $\mathcal B = \{b_1, \dots, b_n\}$ hoisst Basis vom Vekorraum $V$, wenn güllt:

• $b_1, \dots , b_n \in V$ san linear unabhängig
• $b_1, \dots, b_n$ erzeingd ganz V, des hoisst $V = \operatorname{span} \;\mathcal B$

Man ko a Basis aa sortian, nachernd kommas owa nimma als Menge schreim, sondan mous als Famüllie $\mathcal B = (b_1, \dots , b_n)$ schreim. Des is bsondas wichtich, wemma vo da oan in de ana Basis wechsln mächt. De Vektoan in da Basis hoissnd Basisvektoan

Eignschaftn

Existenz

A näida endlich erzeigte Vektorraum hod a Basis, und in da Regl sogoa meara wäi oane. Wenn da Vektorraum iwa an unendlichn Körper gäid, nachand giz sogoa unendlich vüll Basen. Wäis mid unendliche Vektorräume ausschaut, hengt davo oo, ob ma s'Auswahlaxiom gülltn lousst owa ned. Do damid komma nämlich zoing, dass a näida Vektorraum a Basis hom mou.

Basisläng

Fir a Basis $\mathcal B = \{b_1, \dots, b_n\}$ vo $V$güllt im Allgemeina:

• Sie is maximal linear unabhängig, des hoisst $\{v_1, \dots, v_n, v_{n+1}\} \subseteq V$ is von Haus aus linear abhängig
• Sie is minimal erzeignd, des hoisst $\operatorname{span} \{v_1, \dots, v_{n-1} \} \neq V$

Do draus kamma folgan, dass a näide Basis vo $V$ gleich lang is, des hoisst de Kardinalität vonana näidn Basis is gleich. Waal des güllt, komma aa festleng, woas a Dimension von am Vektorraum is, nämlich grod d'Läng vo da Basis.

Beispülla

Kanonische Basen

Wemma an Vektorraum $V=K^n$ hod, nachand is de einfachsde Basis de sogenannte kanonische Basis $\mathcal K^n = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

De komma owa a einfach schreim als $\mathcal K^n = \{e_1 , \dots e_n \}$, wobei das hold dann $e_j$ der Vektor is, der wäi an da j. Stell vo oom an Oansa stäierd hod.

Andane Beispülla

• Monombasis vo $\mathbb R_n[x]$ : $\mathcal B = \{p_0, \dots p_n \}$, wobei das $p_j (x) = x^j$ güllt.
• allgemein a Monombasis vo $K[x]$: $\mathcal B = \{p_1, p_2, \dots \}$
• $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$ is a Basis vo $\mathbb R^{(m,n)}$
• $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$ Is a nicht-Standard-Basis vom $\mathbb R^3$

Wichtiche Sätze

Fiar endliche, n-dimensionale Vektorräume V gitz zwoa ganz wichtiche Sätze im Bezuch aaf lineare Unterräume.

Basisauswahlsatz

Wemma an linearen Unterraum $U = \operatorname{span} \; \mathcal B'$ hod, nachernd gitz a Basis $\mathcal B$ von $U$, de wäi Teilmenge vo $\mathcal B'$ is. Des hoisst im Endeffekt, das ma se aus an näidn Erzeugendensystem vo an Vektorraum Vektoren drausklam kann, mid dene wäi ma a Basis mocha kann (wenns ned eh scho oane san).

Basisergänzungssatz

Wemma an Lineara Unterraum $U \subseteq V$ hod mid ana Basis $\mathcal C= \{u_1, \dots, u_k\}$ nachernd gitz $b_1, \dots, b_{n-k} \in V \setminus U$ aso, das $\mathcal B = \{ u_1, \dots, u_k, b_1, \dots b_{n-k} \}$ a Basis is vo ganz V. Des hoisst, dasma zun an Häffl linear unabhängige Vektoren awl no oi find, mid dene wäi mara Basis mocha konn.

Obacht

Es git oa Sach, wouma umbedingt Obacht gem mou: Iwa wechan Körper gäit da Vektorraum? Je nachdem mouma nämlich schaun, wäifl Basisvektoan dasma braucht. Beispüllsweise wemma de Komplexn Zahln $\mathbb C$ als reelln Vektorraum oschaut, nachernd is a Basis dazou z. B. $\{1,i\}$, also mid Länge zwoa. Als komplexer Vektorraum glangt owa scho oa Vektor als Basis, z. B. $\{1\}$. Als rationaler Vektorraum z. B. waar a Basis unendlich lang.

Literadua

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8