Fixpunktsatz vom Banach

Da Fixpunktsatz vom Banach is a mathematischer Satz vom Banach Stefan. Er sagt wos aus iwa Existenz und Eindeutigkeit vo an Fixpunktproblem.

Genaue Formulierung

Songma $(M,d)$ is a metrischa Raum, der wos vollständig und ned láár is. Außerdem soll $f \colon M \to M$ a Kontraktion sa, des hoisst, dass f Lipschitz-stetig is mid Lipschitz-Konstante kleana wäi oans, oder in Formelschreibweis:

$\left(\exists \vartheta < 1 \right) \left( \forall x,y \in M \right) : d(f(x),f(y)) \leq \vartheta d(x,y)$

Nachernd hod f genau oan Fixpunkt, des hoisst also es gitt genau oa $x \in M$ mit $f(x)=x.$

Beweis

Existenz vo am Fixpunkt

Um zum beweisn, dass f an Fixpunkt hod, mochtma a sogenannte Fixpunktiteration. Do dazou nimmtmara $x_0 \in M$ und definiert eam dann a Folge $\left(x_n \right) _{n \in \mathbb N_0}$ rekursiv durch

$x_n := f(x_{n-1}) \quad (\forall n \in \mathbb N).$

Mid vollständiga Induktion komma leicht zoing, dass

$d\left(x_{n+1}, x_n\right) \leq \vartheta ^n d\left(x_1, x_0\right) \quad (\forall n \in \mathbb N).$

Dann gült fiar $k,l \in \mathbb N$:

$d \left( x_{k+l},x_k \right) \leq \sum_{j=k}^{k+l-1} d \left( x_{j+1}, x_j \right) \leq d\left(x_1, x_0\right) \sum_{j=k}^{k+l-1} \vartheta ^j \leq d\left(x_1, x_0\right) \vartheta ^k \sum_{j=0}^{\infty} \vartheta ^j = d\left(x_1, x_0\right) \frac{\vartheta ^k}{1-\vartheta}.$

De erste Abschätzung kimmt aus da Dreiecksungleichung, des Istgleich àf z'Letzt kimmt vo da geometrischn Reihe. Wáál äitza des ááf da rechtn Seitn nimma vo l abhängich is und beliebig kloa wern kann, wemma sched 's k grous gnou mocht, is de Folge also a Cauchy-Folge, und wáál M vollständig is, gitz an Grenzwert x vo deara Folge. Des x is äitzand a Fixpunkt, waal ma zwecks da Stetigkeit vom f song kann:

$f(x) = f \left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) = \lim_{n \to \infty} f \left(x_n \right) = \lim_{n \to \infty} x_{n-1} = x.$

Eindeutigkeit vom Fixpunkt

Äitz wissma scho, dass an Fixpunkt gitt, owa da Satz sagt ja áá no, dasa eindeutig is. Des zoigtma, indem, das ma sagt, das x und y zwoa Fixpunkte vo f sá sollnd. Nachernd gült owa:

$d (x,y) = d\left( f(x), f(y) \right) \leq \vartheta d (x,y).$

Dadurch, das owa $\vartheta < 1$ is, kann des sched stimma, wenn $d (x,y) = 0$, also $x=y$ is. Also is da Fixpunkt eindeutig und desweng is da Beweis vom Satz firte.

Literadua

• Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, 5. Aufl., Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8