Fixpunktsatz vom Banach

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Da Fixpunktsatz vom Banach is a mathematischer Satz vom Banach Stefan. Er sagt wos aus iwa Existenz und Eindeutigkeit vo an Fixpunktproblem.

Genaue Formulierung[VE | Weakln]

Songma (M,d) is a metrischa Raum, der wos vollständig und ned laar is. Außerdem soll f \colon M \to M a Kontraktion sa, des hoisst, dass f Lipschitz-stetig is mid Lipschitz-Konstante kleana wäi oans, oder in Formelschreibweis:

 \left(\exists \vartheta < 1 \right) \left( \forall x,y \in M \right) : d(f(x),f(y)) \leq \vartheta d(x,y)

Nachernd hod f genau oan Fixpunkt, des hoisst also es gitt genau oa x \in M mit f(x)=x.

Beweis[VE | Weakln]

Existenz vo am Fixpunkt[VE | Weakln]

Um zum beweisn, dass f an Fixpunkt hod, mochtma a sogenannte Fixpunktiteration. Do dazou nimmtmara x_0 \in M und definiert eam dann a Folge \left(x_n \right) _{n \in \mathbb N_0} rekursiv durch

 x_n := f(x_{n-1}) \quad (\forall n \in \mathbb N).

Mid vollständiga Induktion komma leicht zoing, dass

 d\left(x_{n+1}, x_n\right) \leq \vartheta ^n d\left(x_1, x_0\right) \quad (\forall n \in \mathbb N).

Dann gült fiar k,l \in \mathbb N:

 d \left( x_{k+l},x_k \right) \leq \sum_{j=k}^{k+l-1} d \left( x_{j+1}, x_j \right) \leq d\left(x_1, x_0\right) \sum_{j=k}^{k+l-1} \vartheta ^j \leq 
d\left(x_1, x_0\right) \vartheta ^k \sum_{j=0}^{\infty} \vartheta ^j = d\left(x_1, x_0\right) \frac{\vartheta ^k}{1-\vartheta}.

De erste Abschätzung kimmt aus da Dreiecksungleichung, des Istgleich af z'Letzt kimmt vo da geometrischn Reihe. Waal äitza des aaf da rechtn Seitn nimma vo l abhängich is und beliebig kloa wern kann, wemma sched s k grous gnou mocht, is de Folge also a Cauchy-Folge, und waal M vollständig is, gitz an Grenzwert x vo deara Folge. Des x is äitzand a Fixpunkt, waal ma zwecks da Stetigkeit vom f song kann:

 f(x) = f \left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) = \lim_{n \to \infty} f \left(x_n \right) = \lim_{n \to \infty} x_{n-1} = x.

Eindeutigkeit vom Fixpunkt[VE | Weakln]

Äitz wissma scho, dass an Fixpunkt gitt, owa da Satz sagt ja aa no, dasa eindeutig is. Des zoigtma, indem, das ma sagt, das x und y zwoa Fixpunkte vo f sa sollnd. Nachernd gült owa:

 d (x,y) = d\left( f(x), f(y) \right) \leq \vartheta d (x,y).

Dadurch, das owa \vartheta < 1 is, kann des sched stimma, wenn d (x,y) = 0, also  x=y is. Also is da Fixpunkt eindeutig und desweng is da Beweis vom Satz firte.

Literadua[VE | Weakln]

  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, 5. Aufl., Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8