Såtz vum Pythagoras

Der Artikl is im Dialekt Owaöstareichisch gschrim worn.

A rechtwünkligs Dreieck, üba dem seine Seitn de Quadrate eizeichnt san

Da Pythagoras vu Samos

Da so gnãnnte Såtz vum Pythagoras is oane vu de grundlegadn Eakenntnisse fia'd Geometrie im emnen Raam. D'wesntliche Aussåg is, dass in am jedn Dreieck mit am rechtn Wünki de Quadrate üba de zwoa kiazan Seitn midanãnd genau gleich groß san wia s'Quadrat vu da längstn Seitn. De kiazan Seitn nennt ma Kathetn und se schliaßn in rechtn Wünki ei; de länga Seitn wiad aa Hüpotenusn gnãnnt. Vu de Bezeichnungen kimmt da bessa klingade Leahsåtz

„In am rechtwünklign Dreieck entspricht de Summe vu de Flächninhåite vu de Kathetnquadrate da Flächn vum Hüpotenusnquadrat“.

Åis Gleichung notiat schreibt si des so: $a^2+b^2=c^2$, wobei $a$ und $b$ fia de zwoa Kathetn steht und $c$ de Läng vu da Hüpotenusn is.

Umgekeaht bsågt da Såtz vum Pythagoras aa, dass a jeds (in am emnen Raum glengs) Dreieck, in dem de obige Forml a wåhre Aussåg liefat, rechtwünklig sei muaß. In da modeanen Mathematik hüift da Såtz, damit ma aa in am abstraktn Raum oathogonale Vahötnisse außafindn kã.

Dea Leahsåtz is nåch'm Pythagoras vu Samos benãnnt und is de theoretische Ausformuliarung vum praktischn Wissn, des schã de Baumoasta und Priesta in Indien, Babylon und Åidägyptn ghåbt hãm. De hãm's nämli schã vastãndn, beim Åbmessn vu am Föid oda aa beim Baun mit da Hüife vu Seile an genaun rechtn Wünki z'måchn. Schã a kloane Åbweichnung vum rechtn Wünki hätt bei großdimensioniate Bautn im Endeffekt zu ana Katastrophn füahn kina, wås klåa måcht, wia genau si de schã auskennt håm.

Vu da historischn Praxis üba d'Irrazionalität zum letztn Såtz vum Fermat

D'Seuspãnna: Pythagoreische Tripl in da Praxis

D'Cheops-Pyramidn

Um de aa heid nu vablüffade Präzision bei de riesing Bautn sichastöin z'kina, håd's in da ägyptischn Priestaschåft mit de so gnãnntn Harpedonapten a eigne Zumft gem: d'Seupãnner. De genaun rechtn Wünkin hãm de Seuspãnna mit da Hüif vu Zwöifknotnschnialn gkriagt, indem's a Seu duach Knotn in gleich lãnge Åbschnitte untateut hãm. Spãnnt ma de Åbschnitte im Seitnvahöitnis 5:3:4 mit Pfleck zu am Dreieck, eagibt des an rechtn Wünki, weu 3, 4 und 5 a pythagoreischs Tripl san. Mit dera Methode hãm de Ägypta außadem d'Schlãmmföida nåch'm Rückgãng vu de Nilflutn nei ågmessn, heid nennt ma des „Gäatnakonstrukzion“ und rechtwünklige Bluamenbeet oda Parzöin wean zum Teu imma su so ausgmessn.

Aa de indischn Priesta hãm gwusst, wia's mit deara Methode an rechtn Wünki bstimma kinan, hãm åwa dafia a ãndas Tripl gwusst und Dreiecke im Seitnvahöitnis 39:15:36 (gkiazt: 13:5:12) heagnumma. De megalithischn Bautn in Noadeiropa san vamutlich aa mit da Hüif vu soiche pythagoreischn Tripl baut woan.

Weu aa d'Umkeahrung vu dem Såtz güit, schliaßn $a$ und $b$ an rechtn Wünki ei, wãn de Seulängen d'Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ erfüin dan. Mit de Zåihn 3, 4 und 5 (Ägyta, $3^2+4^2=5^2$) oda 15, 36 und 39 (Inda, $15^2+36^2=39^2$) eagem si agrat güitige Aussång. Wås bei de Babylonia, Inda und Ägypta duach s'praktisch, uasprüngli probierade Ãwendn entstãndn is, is (nåch'm heiding Wissnsstãnd) zu dera Zeit nu ned auf iagnda Åigemeingüitigkeit hintafrågt woan und håd damit mim Leahsåtz vum Pythagoras mit $a^2+b^2=c^2$ d'abstrakte und vaåigmoanate mathematische Ausfoamuliarung gkriagt.

Da Pythagoras: D'Suach nåch da Harmonie vu da Wöid

Da Euklid, da „Täifa“ vum Såtz vum Pythagoras, 1474 vum Joos van Wassenhove gmåint

De öidestn bekãnntn mathematischn Aufzeichnungen mit soichane Zåihn-Tripln und sogåa mit de dazuaghearadn Quadrate findt ma auf Tontåfin in vu de Babylonia, de in'd Zeit vu da Hammurabi-Dynastie datiat wean (1829 bis 1530 v. Chr). D'Ãwendung vum Såtz woa oiso schã lãng voa de griechischn Philosophn und Mathematika bekãnnt. Dass da Såtz trotzdem nåch'm Pythagoras bnamslt is, kimmt vum Euklid, dea in seina berühmtn Schrift Elemente s'mathematische Wissn vu dera Zeit zsãmmgschrim håd und dabei håd a den Såtz im Pythagoras zuagschrim. Da Pythagoras soi zwåa amåi nåch Ägyptn groast sei und aa amåi bei de Babylonia gwen sei, åwa es is umstrittn, ob ma de Berichte åis glaubwüadig ãseng deaf. Mit da Entdeckung vu dem Leahsåtz, wås d'Üwaliefarung auf'n Pythagoras zruckfüaht, muaß åiso s'Findn vu am Beweis gmoant gwesn sei. Da easte Beweis stãmmt åwa vielleicht ned vum Pythagoras söiba, sondan vu seina Schui.

S'öideste bekãnnte Rechnbuach vu da Wöid, s'ägyptische Rechnbuach vum Ahmes (aa Papyrus Rhind) aus 17. Jåahhundat v. Chr., enthåitt zwåa kompliziate Aufgåm, åwa koa Vaåigmoanarung, Rögi oda Definizion. S'nu öidare Papyrus Berlin enthoitt a Aufgåb, bei dem d'Lösung a pythagoreischs Tripl is. East in da griechischn Geometrie is aus da Praxis a Wissnschåft woan. Da Nei-Platonika Proklos håd um 470 n. Chr. gsågt,

…da Pythagoras håd de Bschäftigung mit dem Wissnszweig in a wiakliche Wissenschåft vawãndlt, indem a ia Grundlåg vu am hechan Gsichtspunkt aus ãgschaut håd und de Grundsätz immateriella und intellektuella eafoascht håd.

Daweu is fia de Pythagorea ned d'Mathematik, wia ma in Begriff heid vasteht, im Voadagrund gstãndn, sondan vüi mea is d'Mathematik a Teu vu da Philosophie in da Tradizion vu de Voa-Sokratika Thales vu Milet und Anaximander gwen. Wia de hãm aa d'Pythagorea ghofft, dass mathematische Beziehungen und Formin fia'd innare Harmonie vu da Wöid soang und und vu dem hea s'zsãmmhåitnde Element aa åbüidlt wean kã.

Beweise ãndaswo

Oans is sicha: Im Pythagoras oda seina Schui kã ma de öideste Beweisfüahrung fia'n „Såtz vum Pythagoras“ ned zuaschreim. Da Baudhayana, a Inda, dea um 800 v. Chr. glebt håd und d'öidestm bekãnntn Texte üba Geometrie vu Indien gschrim håd, håd in dem Text an Beweis niedagschrim, dea åwa nua fia rechtwünklige, gleichschenklige Dreieck güit. A ãndana Inda, da Apastamba, håd's im 5. Jåahhundat gschåfft, duach a Flächnvaschiabung in Såtz åigmein z'beleng, wobeu da niadaländische Mathematika Bartel Leendert van der Waerden moant, des is „nua“ s'Niedaschreim vu am öidan Wissn gwesn.

Auf jedn Fåi åba woa des voa'm Pythagoras. Da Historika Albert Burk moant, dass im Apastamba sei Beweis da originale is und bringt de Theorie ins Spüi, dass da Pythagoras nåch Indien gfoahn sei kinat und duat vielleicht ågschrim håd.

Da visuelle Beweis aus'm Zhou Bi Suan Jing

In China is da Text Zhou Bi Suan Jing da öideste Hinweis dafia, dass's duat den Såtz aa bewiesn ghåbt hãm. Dea duat aufzeichnte visuelle Beweis mit'm Tripl 3, 4 und 5 is åis Guo-Gu-Theorem bekãnnt (bnamslt nåch da kiazan Kathetn Guo und da längan Gu; d'Hüpotenusn hoaßat Xian). Da Text deafat zwischn 500 Jåah voa und 200 Jåah nåch'm Christus seina Gebuat gschrim woan sei.

Drüwa ob da Såtz iatst oamåi und öftas entdeckt woan is, wiad ziemli vüi debattiad.

D'Entdeckung vu da Irrazionalität

D'Entdeckung vu da Wuazl aus 2

Da Såtz vum Pythagoras håd dazua gfüaht, dass de Pythagorea d'Irrazionalität vu $\sqrt{2}$ entdeckt hãm: Nimmt ma a Quadrat mit ana Seitnläng vu 1 und rechnt ma si dem Quadrat sei Diagonalnläng aus, foigt aus'm Såtz vum Pythagoras: $1^2 + 1^2 = 2 = c^2$. D'positive Lösung c vu dea Gleichung is dãn d'Quadratwuazl aus 2. Auf des Eagebnis aufi entsteht de Fråg, ob de Läng vu dea Diagonaln exakt duach a razionale Zåih, åiso duach an Bruch $\textstyle \frac p q$, dåastöin låsst oda ned. Schã da Pythagorea Hippasos von Metapont håd's im 5. Jåahhundat v. Chr. zeing kina, dass då koa Bruch ned außakemma kã. Vum Euklid is dafia a Beweis duach Widaspruch (reductio ad absurdum) übaliefat, dea aa heid nu an da Schui zoagt wiad.

De öidan Foaschungen hãm ana antikn Legende nåch ãgnumma, dass de Entdeckung vu da Irrazionalität bei de Pythagorea a Grundlångkrise ausglöst håd, weu's eana voarige Denkweis widalegt håd, nämli dass åißig duach gãnzzåhlige Zåihnvahöitnisse ausdrückt wean kã. Des soit åiso s'Wöidbüid vu de Pythagorea quasi auf'n Kopf gstöid hãm. De Legende besågt, dass da Hippasos duach Bekãnntmåchn vu seina Entdeckung an Geheimnisvaråt begãnga håd und desweng im Mea dasoffn is, wås ma åis Stråf vu de Götta intapretiat håd. D'heidige wissnschåftsgschichtliche Foaschung glaubt åba nimma, dass's a soiche Krise wiakli gem håd. Vüi mea is de Legende duach a Missvaständnis entstãndn, weu's åidgriechische Eingschåftswoat, des wås's fia „irrazional“ (im mathematischn Sinn) heagnumma hãm, außadem de Bedeitungen „unsågbåa“ und „geheim“ ghåbt håd.

Im Fermat sei letzta Såtz

Da französische Mathematika Pierre de Fermat håd im 17. Jåahhundat in Såtz vum Pythagoras weida untasuacht und dabei sein letztn Såtz aufgstöd, fia den a söiba gsschrim håd, dass a an „wåahhåft wundabåan Beweis“ gfundn håd, åwa dass am Rãnd, wo a in Såtz gach notiad håd, ned gnuag Plåtz dafia is. Wieda drauf kemma auf den Beweis is east da Andrew Wiles im Jåah 1993, und seithea nennt ma den Såtz nimma d'Fermat'sche Vamutung sondan aa in Großn Såtz vum Fermat.

D'wesntliche Aussåg vu seim „letztn Såtz“ is, dass's fia'd Gleichung $a^n+b^n=c^n$ fia $x,y,z,n \in \N_{>0}$ und $n>2$ ka Lösung gibt, åiso dass's in hechane Potenzn kane Zåihngruppm gibt, wia's de pythagoreischn Tripl san.

D'Mathematische Aussåg und Ãwendungen

D'Aussåg

Wãn $a$, $b$ und $c$ d'Längan vu de Seitn vu am rechtwünklign Dreieck san und ma in Buchståm $c$ fia'd Hüpotenusn nimmt, dãn güit:

$a^2+b^2=c^2.$

Mit Wörta ausdruckt: D'Summe vu de Quadrate üba de Kathetn is gleich mid'm Quadrat üba da Hüpotenusn.

D'Umkeahrung güit genau aso: Trifft de Gleichung $a^2+b^2=c^2$ auf a Dreieck zua, dãn is des Dreieck rechtwünklig, wobei da rechte Wünki gengüba vu da Seitn $c$ liegt.

Eng vawãndt mit'm Såtz vum Pythagoras san da Hechnsåtz und da Kathetnsåatz. De zwoa Sätz büidn zsãmm mit'm Såtz vum Pythagoras d'Såtzgruppm vum Pythagoras. Da Kosinussåtz wieda is a Veåigmeinarung vum pythagoreischen Leahsåtz auf ålle Dreieck.

Da Åigmoane Såtz vum Pythagoras

Da göibe und da blaue Håibkroas zsãmm san genau so groß wia da rode

Da Såtz vum Pythagoras güit ned netta fia Quadrate, es eagibt si aa mit ana jedn ãndan Flächnåat a deaåatige Flächngleichheit, wãn de Figuan üba de Kathetn und üba da Hüpotenusn zuranãnd ähnli san, åiso wãn si de Flächn zuranãnda wia a² : b² : c² vahoitn. Oa so a Beispü waratn de Håibkroas üba de drei Seitn.

Pythagoreische Tripl

A pythagoreischs Tripl nennt ma Dreiagruppm vu lauta gãnze Zåihn, de in dn pythagoreischn Leahsåtz eigsetzt a wåahre Aussåg eagem. Soichane Tripl gibt's undendli vüi, de bekãnntestn vu eana san de Tripl 3–4–5 und 5–12–13; trotzdem san's eha d'Ausnãhm: Bei de meistn rechtwünkling Dreieck is iagnda Seitnläng irrazional. Pythagoreische Tripl låssn si büidn, indem ma zwoa Zåihn $x$ und $y$ ãnimmt und mit de Foamin $a=2xy$, $b=|x^2-y^2|$ und $c=x^2+y^2$ d'Seitnlängan $a$, $b$ und $c$ bstimmt ($c$ is dãn wieda d'Hüpotenusn). Wia ma's schã in da Antike vastãndn håd, mit da Hüif vu Zwoifknotnschnialn de pythagoreischn Tripl praktisch ãzwendn, is jå schã dåaglegt woan.

Ãwendungsmeglichkeitn

Aus'm Såtz vum Pythagoras foigt, wãn ma aus dem gãnzn d'Wuazl ziacht, dass'd Läng vu da Hüpotenusn gleich is mit da Quadratwuazl aus der Summ vu de Kathetnquadrate, es güit åiso:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

D'oafåchste åba gleichzeitig wichtigste Ãwendung vu dem Såtz is, dass ma jetzand, wãn ma vu zwoa Seitn in am rechtwünklign Dreieck d'Läng kennt, d'Läng vu da drittn Seit ausrechna kã. Des is duach a Umfoamung vu da Gleichung fia ålle Seitn megli. Fia de Kathetn hoaßn de Foamin nåchand:

$a=\sqrt{c^2-b^2}$ und $b=\sqrt{c^2-a^2}$

Weu de Hüpotenusn vu am rechtwünkling Dreieck gleich lãng is wia'd Diagonåin vu am Rechteck mit de gleichn Seitnlängan, san de Formin aa güitig, wãn ma si d'Läng vu so ana Diagonåin ausrechna wüi.

D'Umkeahrung vum Såtz kã dazua heagnumma wean, dass ma übaprüft, ob a bstimmtes Dreieck rechtwünklig is oda ned. Bei dea Ãwendung muaß ma netta testn, ob de Gleichung auf des gemne Dreieck zuatreffn tuad oda ned. Wãn ma åiso d'Längan vu ålle Seitn in am Dreick woaß, reicht des, damit ma sång kã, ob des Dreieck a rechtwünkligs is oda ned:

Seitnlängen 3, 4 und 5: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$ → S'Dreieck is rechtwünklig.

Seitnlängen 4, 5 und 6: $4^2+5^2=16+25=41$≠$6^2$ → S'Dreieck ist ned rechtwünklig.

In da Praxis wiad da Såtz vum Pythagoras, nem am Sinus- und Kosinussåtz, aa heid nu voa åim fia s'Vamessn vu am Gelände heagnumma.

Iterazion

Diagramm mit da Flächn- und Raumdiagonåin vu am Wüafi

Da Såtz vum Pythagoras is aa iterativ güitig. Wãn ma d'Hüpotenusn vum eastn Dreieck åis a Kathetn fia a zweits ãnimmt, im rechtn Wünki zu iah a zweite Kathetn draufstöid, d'Hüpotenusn ziagt und beim so entstãndnn Dreieck üba da Hüpotenusn s'Quadrat zeichnt, dãn is des Hüpotenusnquadrat gleich groß wia'd Summe vu de Flächn vu de zwa Kathetnquadrate vum eastn Dreick und vum Quadrat vu da zweitn Kathetn vum zweitn Dreieck. Fãngt ma mit dem Spüi mit zwoa Kathetn mit da Seitnläng vu je 1 ã und nimmt ma d'Hüpothenusn imma åis a Kathetn vum nextn, wobei ma da ãndan Katheten wieda 1 åis Läng gibt und spüid ma des ewig weida, entstehd d'sognãnnte Pythagoras-Spiråin.

Mit dem grundlegadn Vafåahn låsst si da Såtz vum Pythagoras aa im 3-dimensionaln Raum ãwendn. Åis Beispü dafia kã ma d'Raumdiagonåin vu am Wüafi ausrechna. Zeast muaß ma dafia a Flächndiagonåin $d_1$ ausrechna und fia de güit bei ana Seitnläng $a$ foigendes:

${d_1}^2=a^2+a^2=2a^2$, und damit: $d_1=a \cdot \sqrt 2$

Auf de Flächndiagonåin setzt ma dãn a weidare Seitnläng vum Wüafi und ma gkriagt d'Raumdiagonåin $d_2$:

${d_2}^2=(a \cdot \sqrt 2)^2+a^2=3a^2$, und somit is $d_2=a \cdot \sqrt 3$.

Kuaz kã ma fia'd Raumdiagonåin in am Prisma mit da Läng $l$, da Bråadn $b$ und da Hechn $h$ aa sång: ${d_2}^2=l^2+b^2+h^2$

Ãwendung im kartesischn Kooadinatnsystem

Da Såtz vum Pythagoras liefat a Foami fian Åbstãnd zwischn zwoa Punkte in ana Emn, de wås duach a kartesischs Kooadinatnsystem bschrim wiad. San zwoa Punkte $(x_0, y_0)$ und $(x_1, y_1)$ bekãnnt, dãn kã da Åbstãnd $c$ zwischn eana durch

$c = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2}$

ausgrechnt wean. Dabei nutzt ma, wia aa schã beim obing Wüafi-Beispü, aus, dass de Kooadinatn-Axn senkrecht zuranãnd lieng. Des låsst si analog auf mearare Dimensionen eaweitan und liefat in so gnãnntn euklidischn Åbstãnd. Fia an dreidimensionaln Fåi schaut des dãn so aus:

$c = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2}$

Beweise

Via Dreieck in am Quadrat mit da Seitenläng $(a+b)$, auf zwoa vaschiedene Åatn eigschrim, füahn zu am Beweis vum Såtz vum Pythagoras

Fia den oan Såtz san bis heid üwa 300 vaschiedene Beweise gfundn woan, des wås eam zum mathematischn Såtz mit de meistn Beweise måcht. De då voagfüahtn Beweise san åiso netta åis a poa Beispüle zum seng.

Da geometrische Beweis duach Eagänzung

In a Quadrat mit da Seitenläng $a+b$ wean via gleiche (kongruente) rechtwünklige Dreieck mit de Seitn $a$, $b$ und $c$ (d'Hüpotenusn) einigschrim. Des kã ma auf zwoa Åatn måchn, wia ma im Diagramm rechts seng kã.

D'Flächn vum linkn und vum rechtn Quadrat san gleich (Seitenläng jeweis $a+b$). S'linke besteht aus de via rechtwünkling Dreieck und am Quadrat mit da Seitnläng $a$ und am mit da Seitenläng $b$, s'rechte aus de gleichn, åba ãndas ãngoadnetn Dreieck und am Quadrat mit da Seitenläng $c$. $a^2$ und $b^2$ miaßn åiso midanãnda gleich groß sei wia $c^2$, weu ma bei beide Quadrate mit da Seitnläng $a+b$ gleich vüi wegnemma muaß, damit s'$c^2$ oda s'$a^2+b^2$ üwableibt. Algebraisch löst si des so:

Beim linkn bzw. rechtn Quadrat güit foigendes:

links	rechts
$(a+b)^2=4 \cdot \frac{a \cdot b}2+a^2+b^2=2ab+a^2+b^2$	$(a+b)^2=4 \cdot \frac{a \cdot b}2+c^2=2ab+c^2$

Auf da linkn Seit vu de zwoa Gleichungen steht iatst jeweus $(a+b)^2$, desweng kã ma aa de zwoa rechtn Höiftn gleichsetzn: $2ab+c^2=2ab+a^2+b^2$. Ma braucht daun netta nu des $2ab$ auf beide Seitn åziang, und schã steht da Såtz vum Pythagoras då: $a^2+b^2=c^2$. Dea Såtz eagibt si aa, wãn ma bei da rechtn Foami d'Klãmma auflöst und nåchhea nu de $2ab$ åziagt.

Geometrische Beweise duach neichs Ãnoadnen

De foigendn Grafikn zoang, wia ma d'Flächn vu de zwoa Kathetnquadrate zateun und neich ãnoadnen kã, damit am End s'Hüpotenusnquadrat dåsteht:

• 

  $c^2=2ab+(b-a)^2=a^2+b^2$

• 

  Beweis vum de:Abu'l-Wafa und en:Henry Perigal

• 
• 

  Chinesischa Beweis fia'n Guo-gu-Såtz: Bei dem Beweis vum Liu Hui aus'm 3. Jåahhundat is nua s'Quadrat vu da längan Kathetn nåch außn hi zeichnt, da Rest geht ins Dreieck eini.

Beweis üba'n Radius vum Inkroas

De foigendn zwoa Grafikn zoang, wia si fia a rechtwünkligs Dreieck zwoa vaschiedene Foamin healeitn låssn, mit dena ma in Radius $\rho$ vum Inkroas ausrecha kã. Wãn ma de zwoa Foamin nåchhea gleichsetzt, kimmt ma wieda auf's Gsatzl $a^2+b^2=c^2$:

Då siacht ma, aus wås fiare Teuflächn s'gsãmte Dreieck si zsãmmbau låsst.	Bei da Streckn AB siacht ma, aus wås si d'Hüpotenusn zsãmmsetzn tuad.
$A_{gs \tilde a mt}={ \color{Red} \rho \cdot \frac{a}2 }+{ \color{Green} \rho \cdot \frac{b}2 }+{ \color{Blue} \rho \cdot \frac{c}2 }$ → $\frac{a\cdot b}2=\rho \cdot \frac {a+b+c}2$ → $ab=\rho \cdot (a+b+c)$ → $\rho=\frac{ab}{a+b+c}$	$c=a+b-2\cdot\rho$ → $2\cdot \rho=a+b-c$ → $\rho=\frac{a+b-c}2$
de zwoa Foamin gleichgsetzt: $\frac{ab}{a+b+c}=\frac{a+b-c}2$ in Zwoara und d'Klãmma $(a+b+c)$ auf'd jeweus ãndane Seitn bråcht: $2ab=(a+b+c) \cdot (a+b-c)=a^2+b^2-c^2+2ab$ iatst nu de $2ab$ åziang und s'$c^2$ auf'd ãndane Seitn: $a^2+b^2=c^2 \,$

Ãmeakung: D'Foami $A=\tfrac{1}{2} \cdot \rho \cdot (a+b+c)$ güit fia a jeds Dreieck, ned netta fia rechtwünklige. De ãndan Formin san oba, so wia's dåstengan, nua fia rechtwünklige Dreieck güitig.

Beweis mit Ähnlichkeitn

Da Beweis mit Ähnlichkeitn

In Såtz vum Pythagoras kã ma aa beweisn, ohne dass ma iagndwia mid Flächn ummanãndaspüid. A elegante Methodn is's aa, dass ma Ähnlichkeitn im rechtwünkling Dreieck heanimmt und aus eana de Foami åbleitet:

Sobåid ma si üwazeigt håd, dass de zwoa greanen Wünkin im Büidl rechts gleich groß san, eagibt si aus dem, dass de Dreieck $ACB$, $CBD$ und $ACD$ ähnli zuranãnda san. Des hoaßt zum Beispü, dass s'Seitnvahöitnis vu $a$ zu $p$ gleich is mim Seitnvahöitnis vu $c$ zu $a$. Wia si aus dem dãn da Såtz vum Pythagoras earechna låsst, steht im Büdl.

De Healeitung låsst si daduach eaklean, dass de Quadrate üba de Seitn vu am rechtwünkling Dreieck in genau da söibn Propoazion zuranãnd stengan wie de Flächn vu de Dreieck $ACD$, $CBD$ und $ACB$. Da Såtz vum Pythagoras repräsentiad åiso aa, dass $CBD$ und $ACD$ midanãnda $ACB$ eagem.

Vaåigmoanarungen

Da Kosinussåtz

Da Kosinussåtz is d'Vaåigmoanarung vum Såtz vum Pythagoras fia ned rechtwünklige Dreieck. Da Kosinussåtz schaut foigendamåßn aus:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma$

Dabei is $\gamma$ da Wünki zwischen $a$ und $b$. Da Kosinussåtz untascheidt si åiso vum Såtz vum Pythagoras duach's zusätzliche Gsatzl $-2ab\cdot\cos\gamma$. Weu da Kosinus vu 90° nui eagibt, kã ma des Gsatzl beim Spezialfåi vum am rechtwünkling Dreieck, wo dãn $a$ und $b$ de Katheten san, vanåchlässing und vum Kosinussåtz bleibt genau da Såtz vum Pythagoras steh.

Duach'n Kosinussåtz eagem si foigende Röigin:

• $a^2+b^2<c^2$ → da Wünki $\gamma$ is a stumpfa Wünki
• $a^2+b^2=c^2$ → da Wünki $\gamma$ is a rechta Wünki
• $a^2+b^2>c^2$ → da Wünki $\gamma$ is a spitza Wünki

Vaåigmoanarung vum Såtz auf beliebige Dreieck ohne Wünkifunkzionen

Es is aa mögli, ohne Wünkifunkzionen auf'd Aussåg vum Kosinussåtz z'kemma. Dazua konstruiert ma a beliebigs Dreieck mit Züaki und Lineal foigendamåßn: Ma zeichnt d'Kantn $c$ zwischn de Punkte $A$ und $B$. Dãn trãgt ma mid'm Züaki d'Kathetnläng $b$ vu $A$ aus in Foam vu am Kroas auf, dea $c$ schneidt. Vu $B$ aus trågt ma analog dazua d'Kathetenläng $a$ ei, wobei $c$ wieda gschnittn wiad. Ma siacht, dass $c$ duach de zwoa Kroaslinien in insgesãmt drei Teule zaschnittn wiad.

De Teustreckn auf $c$, de in $A$ ãfãngt, nennan ma $x$, in mittlan Åbschnitt $u$ und in Teu, dea in $B$ aufheat $y$. Foiglich güit $c=x+u+y$, und außadem $a=u+y$ und $b=u+x$. Fia s'Hüpotenusnquadrat güit åiso $c^2=(u+x+y)^2=u^2+x^2+y^2+2ux+2uy+2xy$, fia de Kathetnquadrate $a^2=(u+y)^2=u^2+2uy+y^2$ und $b^2=(u+x)^2=u^2+2ux+x^2$.

Fåsst ma de Foamin zsãmm, kimmt ma auf de fia a jeds Dreick güitige Foami $c^2=a^2+b^2-u^2+2xy$. Damit si de Foami beim Spezialfåi vu am rechtwünkling Dreieck auf $c^2=a^2+b^2$ reduziat, güit bei denen åiso $u^2=2xy$. Natiali güit aa: $u^2-2xy=2ab \cos (\gamma)$ oda $\cos(\gamma)=(u^2-2xy)/2ab$, weu nämli $c^2=a^2+b^2-u^2+2xy$ d'söwe Aussåg måcht wia da Kosinussåtz, netta håid ohne Wünkifunkzionen.

Aus da notwending Gleichung $u^2=2xy$ fia rechtwünklige Dreieck eagibt si außadem a zweite oafåche Voaschrift, mid dea si pythagoreische Tripl büidn låssn, weu si de Greßn $a$, $b$ und $c$ aus $u$, $x$ und $y$ zsãmmsetzn (schau om).

Innenproduktraim

Åbstrahiat ma vum gwähnlichn euklidischn Raum, so kriagt da Mathematika so gnãnnte Innen- oda Skalarproduktraim. Des san lineare Raim mit am Skalarprodukt. Då güit dãn, wãn ma zwoa Vektoan $\vec v$ und $\vec w$ ãnimmt, de zuranãnd oathogonal (åiso in am rechtn Wünki) steh dan, foigendes:

$\|\vec v+\vec w\|^2=\|\vec v\|^2+\|\vec w\|^2$

Mit $\|.\|$ is in dea Aussåg d'Noam vu dem Raum gmoant. Weu $\vec v+\vec w$ d'Hüpotenusn vum Dreick is, wås vu de Vektoan $\vec v$ und $\vec w$ aufgspãnnt wiad, steht då eigntli wieda da Såtz vum Pythagoras, netta håid fia abstrakte mathematische Gebüide wia am unendli dimensionaln Funkzionenraum. D'Umkearung güit då emfåis: Wãn de Gleichung då oman zuatrifft, dãn san de zwoa Vektoan oathogonal zuranãnd.

A ãndane Variantn, mit dea si feststöin låssat, dass zwoa Vektoan noamal, åiso im rechn Wünki, zuranãnd stengan, is, dass dãn s'Skalarprodukt Nui sei muaß. Wü ma d'om stehade Foami wieda so vaåigmoanan, dass's aa fia ned oathogonale Dreieck güit, muaß ma's um a kuazs Gsatzl länga måchn und s'åigemein güitige Eagebnis warat:

$\|\vec v+\vec w\|^2=\|\vec v\|^2+\|\vec w\|^2+2\,\mbox{Re}\,\langle\vec v,\vec w \rangle$

Des $\langle\vec v,\vec w \rangle$ is oane vu mearare Meglichkeitn, wia ma a Skalarprodukt notiat. Wãn ma åiso in Spezialfåi vu zwoa noamal zuranãnd stehade Vektoan ãnimmt, eagibt si bei dem Skalarprodukt dãn Nui und damit kã ma in dem Fåi des den Teu vu da Foami vanåchlässing. Damit warat ma wieda bei da Foami vum Ãfãng vu dem Åbschnitt.

Ned-euklidische Geometrie

Des Dreieck auf ana Kugi håd a Innenwünkisumme vu 270°

Da Såtz vum Pythagoras is vu Axiome ågleitet, de in da Ned-euklidische Geometrie nimma göitn. Oa so a Axiom is, dass si parallele Linien in da Endlichkeit nia treffn wean; a ãndas, dass d'Wünkisumm in am Dreieck 180° ausmãcht. Dass des zum Beispü auf ana Kugiobaflächn ned güit, siacht ma im Büidl rechts. Des Dreieck besteht aus drei rechte Wünkin und håd damit a Innenwünkisumm vu 270°. Sobåid de Axiome nimma göitn, redt ma vu da ned-euklidischn Geometrie und in dea is Såtz vum Pythagoras dãn aa nimma güitig.

Fia'd hüpabolische und fia'd Kugigeometrie kã ma aus'm jeweulig güiting Kathetnsåtz an Easåtz fia'n Såtz vum Pythagoras åleitn, dea dãn wieda a bstimmts Vahöitnis zwischn de Längn vu de Kathetn und da Hüpotenusn voagibt.

Auf ana Kugi mim Radius $R$, güit fia a rechtwünkligs Dreieck $\cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right)$.

Wãn ma ãnimmt, dass si da Radius im Unendlichn ãnähat, åiso dass de Kugi sche laungsaum zu ana Emn wiad, dãn kimmt da Såtz vum Pythagoras wieda in sei euklidische Foam $a^2+b^2=c^2$.

Auf ana Hüpeabü (mit da Gauss'schn Krümmung -1) güit de Foami $\cosh c=\cosh a\,\cosh b$. Aa aus dea Foami kã ma in euklidischn Såtz åbleitn, wãn $a$, $b$ und $c$ si da Nui ãnähan.

Literadua

auf Deitsch

• Anna M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidlbeag 1994. ISBN 3-86025-669-6
• Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2
• Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für Jedermann. Ullstein, Bealin 1954 (Zitate Proklos nach S. 103, 118).
• Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, Reinbek 1982. ISBN 3-499-16692-5
• Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C.H. Beck, Minga 1990. ISBN 3-406-02535-8
• Wilhelm Capelle (Hrsg.): Die Vorsokratiker. Alfred Kröner, Stuttgart 1963. (Zitat Plutarch nach S. 102). ISBN 3-520-11908-0
• Alexander K. Dewdney: Reise in das Innere der Mathematik. Birkhäuser, Bealin 2000. ISBN 3-7643-6189-1
• Simon Singh: Fermats letzter Satz. dtv, Minga 2000. ISBN 3-423-33052-X

auf Englisch

• Euclid, The Elements (3 Bände). Üwasetzt mit Eileitung und Kommentar vum Sir Thomas L. Heath. Dover, 1956 (2. Auflåg).
• Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton University Press, Princeton (New Jersey) 2007. ISBN 978-0-691-12526-8
• Frank Swetz, T. I. Kao: Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China, Pennsylvania State University Press, 1977.

Im Netz

• Beweise fian Såtz vum Pythagoras
• Beweise fian Såtz vum Pythagoras (auf Englisch)
• Java-Applets (englisch)
• Intaaktivs Leanprogramm mit Beweise, Aufgåm und am Haufn Links

 Commons: Såtz vum Pythagoras – Sammlung vo Buidl, Videos und Audiodateien

Der Artikl gheart zu de berign Artikl in da boarischn Wikipedia.