Taylorpolynom

Taylorpolynome han ganz wichtiche Hülfsmittl in da Analysis, am Teilgebiet vo da Mathematik, waal ma damid a Funktion um an Punkt rundum näherungsweis ausrechnen kann. Se wean voa allen Dingen in de Natuawissnschaftn hergnumma. Eng damid vowandt han Taylorreihen.

Taylor-Formel

Wemma a Funktion $f \colon J \to \mathbb R$ hod, de wäi $(n+1)$-mol stetig differenzierbar is, wobei $J \subset \mathbb R$ a Intervall is, nachernd gült fia alle $x,a \in J$:

$f(x)=\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j+R_n(x)$

Do dabaa is da easde Summand as "Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a". Ma kann do dafia aa schreim:

$T_{a,n}f(x)=\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j$

$R_n(x)$ is as Restglied, des wäi ma ausrechnan kann als:

$R_n(x)= \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \; \mathrm d t$

Waal eam des Restglied owa oft ned indressiert, z. B. wemma ind da Physik a komplizierte Formel nähern mog, schreibt ma stattdessen einfach mid Hülfe vo de Landau-Symbole:

$f(x)=T_{a,n}f(x)+ \mathcal O(x^{n+1}) \quad (x \to a)$

Beweisskizze

Ma beweist den Satz vo Taylor mid vollständiger Induktion iwa n. Da Induktionsofang ($n=0$) is einfach sched da Hauptsatz vo da Differential- und Integralrechnung:

$f(x)= f(a) + \int_a^x f'(x) \; \mathrm d x$

Im Induktionsschritt ($n\to n+1$) integriert ma partiell über $R_{n+1}(x)$ und stüllt fest, dass dann des Integral wos überbleibt genau as n-te Restglied is und dass se alles Andane zum Taylorpolynom vom Grad n zammaddiert.

Restgliedformeln

Ma ko des Restglied $R_n(x)$ aa no anderster ågeem, wäi im Satz vo Taylor beschriem, z. B. in da Form vom Lagrange, de wäi ohne Integral auskimmt:

$R_n(x)= \frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$

Do dabaa is $\xi$ a bestimmter Wert zwischn a und x. Ma kann's aa in da Cauchyschn Form ågeem:

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)$

Mehrdimensionale Taylorpolynome

Wemma a Funktion $f \colon M \to \mathbb R$ hod, de wäi n-mal stetig differenzierbar is, wobei äitz $M \subset \mathbb R^n$ offa und konvex is, nachernd kamma mid hülfe von da Multiindexschriebweise as Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a ågeem als:

$T_{a,n}f(x)=\sum_{|p| \leq n} \frac {D^p f(a)}{p!} (x-a)^p$

Fia $n=2$ giz a recht einfache Schreibweis, nämlich

$T_{a,2}f(x)=f(a) + \langle Df(a), x-a \rangle + \frac 12 \langle x-a, H_f(a)(x-a)\rangle,$

wobei Df d'Jakobimatrix vo f, $H_f$ d'Hessematrix vo f und $\langle \cdot , \cdot \rangle$ as Standardskalarprodukt han.

Beispülla

oadimensional

Songma, $f \colon \mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto \mathrm e^{\sin x}$, wüllma um an Punkt $a=\pi$ bis in de 2. Ordnung entwickln. Do dazou mouma äitz alle Ableitungan bis zu da 2. ausrechnen.

• $f'(x)= \cos(x) \mathrm e^{\sin x}$
• $f''(x)=(\cos^2 (x)-sin(x)) \mathrm e^{\sin x}$

Nacha setztma für x an Entwicklungspunkt $\pi$ ei und kann damid as Taylorpolynom afstülln.

$T_{\pi,2}f(x)=1-(x- \pi)+\frac 12 (x-\pi)^2$

mehrdimensional

Äitz songma ma wüll $g \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y) \mapsto \sin(x)y^2$ um an Punkt $a=\left( \frac{\pi}2,1 \right)$ bis zur 2. Ordnung entwickln. Do mouma äitz aa wieda de ensprecehndn Ableitungan ausrechnen:

• $\frac{ \partial}{ \partial x}g(x,y) = \cos(x)y^2$
• $\frac{ \partial}{ \partial y}g(x,y) = 2\sin(x)y$
• $\frac{ \partial^2}{ \partial x^2}g(x,y) = -\sin(x)y^2$
• $\frac{ \partial^2}{ \partial x \partial y}g(x,y) = 2 \cos(x)y$
• $\frac{ \partial^2}{ \partial y^2}g(x,y) = 2\sin(x)$

Des hoisst für's Taylorpolynom:

$T_{ \left( \frac{\pi}2,1 \right),1}g(x,y)= 1 + 2(y-1)-\frac 12 (y-1)^2 + \left( x-\frac{\pi}2 \right)^2$

Literadua

• Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.