Taylorpolynom

Aus Wikipedia
Wexln zua: Navigation, Suach

Taylorpolynome han ganz wichtiche Hülfsmittl in da Analysis, am Teilgebiet vo da Mathematik, waal ma damid a Funktion um an Punkt rundum näherungsweis ausrechnen kann. Se wean voa allen Dingen in de Natuawissnschaftn hergnumma. Eng damid vowandt han Taylorreihen.

Taylor-Formel[VE | Weakln]

Wemma a Funktion  f \colon J \to \mathbb R hod, de wäi (n+1)-mol stetig differenzierbar is, wobei J \subset \mathbb R a Intervall is, nachernd gült fia alle  x,a \in J:

f(x)=\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j+R_n(x)

Do dabaa is da easde Summand as "Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a". Ma kann do dafia aa schreim:

 T_{a,n}f(x)=\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j

R_n(x) is as Restglied, des wäi ma ausrechnan kann als:

 R_n(x)= \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \; \mathrm d t

Waal eam des Restglied owa oft ned indressiert, z. B. wemma ind da Physik a komplizierte Formel nähern mog, schreibt ma stattdessen einfach mid Hülfe vo de Landau-Symbole:

f(x)=T_{a,n}f(x)+ \mathcal O(x^{n+1}) \quad (x \to a)

Beweisskizze[VE | Weakln]

Ma beweist den Satz vo Taylor mid vollständiger Induktion iwa n. Da Induktionsofang (n=0) is einfach sched da Hauptsatz vo da Differential- und Integralrechnung:

f(x)= f(a) + \int_a^x f'(x) \; \mathrm d x

Im Induktionsschritt (n\to n+1) integriert ma partiell über R_{n+1}(x) und stüllt fest, dass dann des Integral wos überbleibt genau as n-te Restglied is und dass se alles Andane zum Taylorpolynom vom Grad n zammaddiert.

Restgliedformeln[VE | Weakln]

Ma ko des Restglied R_n(x) aa no anderster ogem, wäi im Satz vo Taylor beschriem, z. B. in da Form vom Lagrange, de wäi ohne Integral auskimmt:

R_n(x)= \frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}

Do dabaa is \xi a bestimmter Wert zwischn a und x. Ma kanns aa in da Cauchyschn Form ogem:

R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-a)

Mehrdimensionale Taylorpolynome[VE | Weakln]

Wemma a Funktion f \colon M \to \mathbb R hod, de wäi n-mal stetig differenzierbar is, wobei äitz  M \subset \mathbb R^n offa und konvex is, nachernd kamma mid hülfe von da Multiindexschriebweise as Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a ogem als:

 T_{a,n}f(x)=\sum_{|p| \leq n} \frac {D^p f(a)}{p!} (x-a)^p

Fia n=2 giz a recht einfache Schreibweis, nämlich

 T_{a,2}f(x)=f(a) + \langle Df(a), x-a \rangle + \frac 12 \langle x-a, H_f(a)(x-a)\rangle,

wobei Df d'Jakobimatrix vo f, H_f d'Hessematrix vo f und \langle \cdot , \cdot \rangle as Standardskalarprodukt han.

Beispülla[VE | Weakln]

oadimensional[VE | Weakln]

Songma, f \colon \mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto \mathrm e^{\sin x}, wüllma um an Punkt a=\pi bis in de 2. Ordnung entwickln. Do dazou mouma äitz alle Ableitungan bis zu da 2. ausrechnen.

  • f'(x)= \cos(x) \mathrm e^{\sin x}
  • f''(x)=(\cos^2 (x)-sin(x)) \mathrm e^{\sin x}

Nacha setztma für x an Entwicklungspunkt \pi ei und kann damid as Taylorpolynom afstülln.

T_{\pi,2}f(x)=1-(x- \pi)+\frac 12 (x-\pi)^2

mehrdimensional[VE | Weakln]

Äitz songma ma wüll g \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y) \mapsto \sin(x)y^2 um an Punkt a=\left( \frac{\pi}2,1 \right) bis zur 2. Ordnung entwickln. Do mouma äitz aa wieda de ensprecehndn Ableitungan ausrechnen:

  • \frac{ \partial}{ \partial x}g(x,y) = \cos(x)y^2
  • \frac{ \partial}{ \partial y}g(x,y) = 2\sin(x)y
  • \frac{ \partial^2}{ \partial x^2}g(x,y) = -\sin(x)y^2
  • \frac{ \partial^2}{ \partial x \partial y}g(x,y) = 2 \cos(x)y
  • \frac{ \partial^2}{ \partial y^2}g(x,y) = 2\sin(x)

Des hoisst fürs Taylorpolynom:

T_{ \left( \frac{\pi}2,1 \right),1}g(x,y)= 1 + 2(y-1)-\frac 12 (y-1)^2 + \left( x-\frac{\pi}2 \right)^2

Literadua[VE | Weakln]

  • Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.