Fixpunktsatz vom Banach

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Da Fixpunktsatz vom Banach is a mathematischer Satz vom Banach Stefan. Er sagt wos aus iwa Existenz und Eindeutigkeit vo an Fixpunktproblem.

Genaue Formulierung[VE | Weakln]

Songma is a metrischa Raum, der wos vollständig und ned laar is. Außerdem soll a Kontraktion sa, des hoisst, dass f Lipschitz-stetig is mid Lipschitz-Konstante kleana wej oans, oder in Formelschreibweis:

Nachernd hod f genau oan Fixpunkt, des hoisst also es gitt genau oa mit

Beweis[VE | Weakln]

Existenz vo am Fixpunkt[VE | Weakln]

Um zum beweisn, dass f an Fixpunkt hod, mochtma a sogenannte Fixpunktiteration. Do dazou nimmtmara und definiert eam dann a Folge rekursiv durch

Mid vollständiga Induktion komma leicht zoing, dass

Dann gült fiar :

De easchte Abschätzung kimmt aus da Dreiecksungleichung, des Istgleich af z'Letzt kimmt vo da geometrischn Reihe. Waal ejtza des aaf da rechtn Seitn nimma vo l abhängich is und beliebig kloa wern kann, wemma sched s k grous gnou mocht, is de Folge also a Cauchy-Folge, und waal M vollständig is, gitz an Grenzwert x vo deara Folge. Des x is ejtzand a Fixpunkt, waal ma zwecks da Stetigkeit vom f song kann:

Eindeutigkeit vom Fixpunkt[VE | Weakln]

Ejtz wissma scho, dass an Fixpunkt gitt, owa da Satz sagt ja aa no, dasa eindeutig is. Des zoigtma, indem, das ma sagt, das x und y zwoa Fixpunkte vo f sa sollnd. Nachernd gült owa:

Dadurch, das owa is, kann des sched stimma, wenn , also is. Also is da Fixpunkt eindeutig und desweng is da Beweis vom Satz firte.

Literatua[VE | Weakln]

  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, 5. Aufl., Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8