Satz vom Vitali

Da Satz vom Vitali is a wichtiche Aussage áás dá Maßtheorie. Der sagt nämlich, dass's im $\mathbb R ^d$ Mengen gitt, däi wos niat Lebesgue-messbar hán. Däi Mengen áás den Beweis hoissd ma Vitali-Mengen. Ma brácht dazou awá s'Auswahlaxiom.

Beweis

An Satz vom Vitali beweist ma mid an Widerspruch. Da dazou definiert ma se a Relation ~ ááf'n $\mathbb R ^d$ duach $x \sim y : \iff x-y \in \mathbb Q ^d$. Ma kon lächt zoing, das des a Äquivalenzrelation is. Wecha'm Auswahlaxiom giz äitzad a Menge V, wau vo ana jedn Äquivalenzklass vo ~ genau oi Element drin is. Wemma äitz sachát, dass V $\lambda ^d$-messbar wáár, nachernd gáwats prinzipiell zwoa Meglichkeitn:

• oimol, dass $\lambda ^d (V) = 0$. Des hoissert awá wecha da σ-Additivität und da Translationsinvarianz vom Lebesgue-Maß, dass

$\lambda^d (\mathbb R ^n) = \lambda^d \left(\bigcup _{q \in \mathbb Q^d} (V+q) \right) = \sum_{q \in \mathbb Q^d} (V+q) = \sum_{q \in \mathbb Q^d} V = 0$

• ansonstn kánnt no $\lambda ^d (V) \in (0, \infty)$ sá. Nách'n Satz vom Steinhaus gitz a $\delta > 0$ aso, dass

$U_{\delta} (0) \subseteq V-V = \{ v-w | v,w \in V \}.$

Dementsprechend gitz áá a $y \in \mathbb Q ^d \setminus \{ 0 \}$ mit $y \in U_{\delta} (0) \subseteq V-V$. Des hoissert awá ätz, dass's $v \neq w \in V$ gitt, aso, dass $v-w=y$. Des gait awá niat, wáál siest v und w in da glächn Äquivalenzklass sáá mäissadnd, also häichtns ois davo in V sáá ko.

Sechdane V hoisst ma wäi gsagt Vitali-Mengen.

Literadua

• Herrlich, Horst: Axiom of Choice. Springer-Verlag, 2006, Seite 120.