Satz vom Vitali

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Da Satz vom Vitali is a wichtiche Aussage aas da Maßtheorie. Der sagt nämlich, dass's im  \mathbb R ^d Mengen gitt, däi wos niat Lebesgue-messbar han. Däi Mengen aas den Beweis hoissd ma Vitali-Mengen. Ma bracht dazou awa s'Auswahlaxiom.

Beweis[VE | Weakln]

An Satz vom Vitali beweist ma mid an Widerspruch. Da dazou definiert ma se a Relation ~ aaf'n  \mathbb R ^d duach  x \sim y : \iff x-y \in \mathbb Q ^d . Ma kon lächt zoing, das des a Äquivalenzrelation is. Wecha'm Auswahlaxiom giz äitzad a Menge V, wau vo ana jedn Äquivalenzklass vo ~ genau oi Element drin is. Wemma äitz sachat, dass V  \lambda ^d -messbar waar, nachernd gawats prinzipiell zwoa Meglichkeitn:

  • oimol, dass  \lambda ^d (V) = 0 . Des hoissert awa wecha da σ-Additivität und da Translationsinvarianz vom Lebesgue-Maß, dass
 \lambda^d (\mathbb R ^n) = \lambda^d \left(\bigcup _{q \in \mathbb Q^d} (V+q) \right) = \sum_{q \in \mathbb Q^d} \lambda^d\left(V+q\right) = \sum_{q \in \mathbb Q^d} \lambda^d\left(V\right) = 0
 U_{\delta} (0) \subseteq V-V = \{ v-w | v,w \in V \}.

Dementsprechend gitz aa a  y \in \mathbb Q ^d \setminus \{ 0 \} mit  y \in U_{\delta} (0) \subseteq V-V. Des hoissert awa ätz, dass's  v \neq w \in V gitt, aso, dass  v-w=y . Des gait awa niat, waal siest v und w in da glächn Äquivalenzklass saa mäissadnd, also häichtns ois davo in V saa ko.

Sechdane V hoisst ma wäi gsagt Vitali-Mengen.

Literadua[VE | Weakln]

  • Herrlich, Horst: Axiom of Choice. Springer-Verlag, 2006, Seite 120.