Goidner Schnitt

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Da Goidne Schnitt (lat. 'sectio aurea) is as Vahäidnis zwischn zwoa Zoin vo grob 1:1,618. In da Kunst und da Architektua werd des oft aa oiß de ideale Proportion vo zwoaraloa Längen zuaranand ogseng und guit oiß der Inbegriff vo Ästhetik und Harmonie. Mehra no gibts des Vahäitnis vom goidnen Schnitt aa in da Natua, wora se durch mehrane interessante mathematische Eignschaftn auszeichnen duad. Gnennd werda aa stetige Teilung und geddliche Teilung (lat. proportio divina).

Teilung vo a Streckn mim Vahäidnis vom Goidnen Schnitt: a verhoit se z´b wia a+ba.

Definitionen und Grundeigenschaften[VE | Weakln]

As Rechteck mit de Seitn a und b entspricht agrad dann am Goidnen Schnitt, wenns aa fiahras Rechteck mit de Seitn a+b und a da Foi is. A Goidns Rechteck loßt se desweng oiwei in a gleanas Rechteck und in a Quadrat zalegn.
  • Zwoa Streckn stengan im Vahäitnis vom Goidnen Schnitt, wenn se d´greßerne zur gleana vahoit wia d´Summ aus beiden zur greßern (schaug Buidl). Des Vahäidnis werd fui mit dem griechischn Buchstohm Φ (Phi) ausgschuidert. Wenn iatzad d´längerne Streck a und d´kiazane b is, nachad guit
\frac{a}{b}= \frac{a+b}{a}
Oiso hamma firahs Vahäidnis vo a zu b (schaug obi)
\Phi = \frac{a}{b}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618033988{...}
  • Φ isa a irrationale Zoi, des hoaßt, dass er se iat durch a Vahäidnis vo zwoaraloa ganze Zoin darstäihn loßt. Es zoagt se, dass´ in am gewissn Sinne d´irrationalste fo olle Zoin is (schaug obi). Des bedeit, dass se se aa no vergleichsweise schlecht durch a Vahäidnis vo zwoa ganze Zoin onähern loßt, a Zuastand, der wo wesentlich zu ihra Bedeitung in da Natur und wahrscheins aa in da Kunst beitrogt.
  • Subtrahiert ma de kiazane vo de zwoa Streckn vo da längern, so kriagt ma a no kiazanane Streckn, zu der de mittlane vo drei Streckn aa wiada im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt stähd. Des kriagma aus dera Definition vo ohm, wemma ausgehend vo da Streck a+b de Streckn b obziagt. De Bezeichnung 'stetige Teilung hoaßt dabei sofui wia, dass se der Vorgang grod beliebig oft wiadahoin loßd und nachad oiwei wiada as säiba Vahäidnis liafad.
  • A Rechteck, des wo an Seitenvahäidnis im Goidnen Schnitt hod, hoaßt ma as Goidne Rechteck und es wern aa gleichschenklige Dreiecke oiß Goidne Dreiecke bezeichnet, wann bei dene zwoa Seitn in dem Vahäidnis stenga duan.
Da Goidne Winkl Ψ≈137,5°
  • A bedeitnde Roin spuid da sognennde Goidne Winkl Ψ (Psi). Ma kriagt eam, wemma an Winkel 360° im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt teit. Bezeichnet ma an kleanan vo de zwoa Winkl ois Ψ1 und an ßan mit Ψ2, so ergibt se
\Psi_2 =  \frac{360^\circ}{\Phi}  \approx 222{,}5^\circ
Wei se Winkl kleana wia 180° fiah´d Anwendung ois handtlicha erweisn, werd da kleana Winkl Ψ1 ois Goidna Winkl Ψ bezeichnet, oiso
\Psi = 360^\circ - \frac{360^\circ}{\Phi}  \approx 137{,}5^\circ
  • In am enga Zammadhang zum Goidnen Schnitt stähd d´unendliche Zahlenfolge vo de Fibonacci-Zoin, de wo auf´n Leonardo da Pisa, gnennd Fibonacci (13. Johrhundert), zruckgähd:
 f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\   für n\geq 2 und ois Ofangswerte f_0=0\   und   f_1=1\
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946
A´d jeweis näxte Zoi in dera Foign erhoit ma ois´d Summe vo de zwoa vorherdgonganna. As Vahäidnis vo zwoa nacharanandkemmadn Fibonacci-Zoin gähd fiah Unendlich gega an Goidnen Schnitt, wos da Johannes Kepler seinerzeit aa scho gwisst hod.

Geometrischs[VE | Weakln]

Vagleich mid ondane Teilungsvahäidnisse[VE | Weakln]

A Grund fiah´d Beliebtheit vom Goidnen Schnitt kannt sei hoher Grad an Irrationalität sei. Des bedeit, dassa se vo olle Vahäidnisse zwischn gleanare ganze Zoin, wia 2 : 3 oder 3 : 4, deitlich obhehm duad, wos in am bestimmtn ästhetischen Zammadhang erwinscht sei konn. Kannt sei, er warrad und werd aa fui unbewusst und ohne gscheide Maßkontroin intuitiv gwäihd, um säichane rationale Längenvahäidnisse zum vermeihn.

D´foignde Obbildung vagleicht vaschiane Rechtecke mid schneidige Seitnvahältnisse in da Umgebung vo Φ. Ogehm werd oiwei as Vahäidnis vo da He zua Broahn und am entsprechadn Zoinfaktor.

Goldener Schnitt Rechtecke Aspect ratio compare6.png

Typische Einsotzgebieter (vo links auf rechts):

  • 4 : 3 - Traditionäis Fernsehformat. In da Regl aa bei Computermonitoren (z. B. 1024 × 768 Pixel). Des Format gähd zruck auf Thomas Alva Edison, der 1889 as Format vom klassischn Fuimbuidl (35-mm-Film) auf 24 × 18 mm festglegt hod.
  • 2 : 1 - As Seitnvahäidnis beim DIN-A4-Bladdl und de verwandtn DIN-Maßen. Bei a Hoibierung durch an Schnitt, der´d längerne Seitn vom Rechteck hoibiert, entstengan wiada Rechtecke mit am säibn Vahäidnis.
  • 3 : 2 - Seitnvahäidnis beim Kleinbildfilm (36 mm × 24 mm).
  • Φ : 1 - Seitnvahäidnis im Goidnen Schnitt. Hier approximiert, oiso o´gnähert, durch 144 × 89 Pixel mid am theoretischen Fähla vo nur 5·10−5. De zwoa benachbarten Rechtecke (3 : 2 und 5 : 3) ham Seitnvahäidniss vo aufanandafoignde Fibonacci-Zoin und approximieren desweng aa an Goidnen Schnitt vagleichsweise guad.
  • 5 : 3 - Findt nehm am no breadan 1 : 1,85 ois Kinoformat Verwendung.
  • 16 : 9 - Broadbuildfernsehr.

Konstruktiona mim Zirkl und Lineäu[VE | Weakln]

In da Geometrie betracht ma Konstruktionsvafohrn, de wo nur mid Zirkl und Lineäu auskemman. Fiah´d Teilung vo ana Streck im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt gibts recht fui säicherner Vafohrn. Es wernd expemplarisch a bor erwähnt.

Beliebts Konstruktionsvafohrn
  • As foignde Vafohrn is wega seina Eifochheit bliebt.
    1. Erricht auf da Streckn AB im Punkt B a Senkrechtn da hoim Läng vo AB mim Endpunkt C.
    2. Da Kreis um C mim Radius BC schneidt d´Verbindung AC im Punkt D.
    3. Da Kreis um A mim Radius AD teilt d´Streckn AB im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt.
Vafohrn nochm Euklid
  • Dia foigdnde Voaschrift geht auf'n Euklid zruck.
    1. Erricht auf da Streckn AB im Punkt A a Senkrechtn der hoim Länge von AB mim Endpunkt C.
    2. Da Kreis um C mim Radius CB schneidt d´Verlängerung vom AC im Punkt D.
    3. Da Kreis um A mim Radius AD teilt d´Streckn AB im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt.

Bei dene zwoa Beispui redt ma aa vo a innren Teilung vo da Ausgangsstreck AB.

Vafohrn mid "äußrer Teilung"
  • Im Foigden zwoa Beispui firah äußre Teilung, bei der da zum konstruierende Punkt außahoib vo da Ausgangsstreckn liegt.
    1. Erricht auf da Streckn AS im Punkt S a Senkrechte der Länge AS mim Endpunkt C.
    2. Konstruier d´Mittn M da Streck AS.
    3. Da Kreis um M mim Radius MC schneidt d´Verlängerung vo AS im Punkt B. S teilt AB im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt.
Konstruktion noch Odom
  • As foignde Konstruktionsvafohrn is erscht umara 1982 vom amerikanischen Mathematiker George Odom gfundn worn.
    1. Konstruier a gleichseitigs Dreieck.
    2. Konstruier an Umkreis, oiso an Kreis, der wo durch olle Eckn vo dem Dreieck gähd.
    3. Halbier zwoa Seitn vo dem Dreieck in de Punkte A und S.
    4. D´Verlängerung vo AS schneidtn Kreis im Punkt B. S teilt AB nachad im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt.
Fongt ma mit da Streckn AS o, dann deaf ma zerscht as Dreieck kontruiern, wos in merahne Schritt problemlos möglich iss.

Druhnfuaß (Pentagramm)[VE | Weakln]

Pentagramm
Foidt ma an Papierstreifa nochm Übahandknotn, so entstengand Streckn im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt.

As Pentagramm, oans vo des äiderstn magischen Symbole vo da Kulturgschicht, stähd in a bsunders enga Beziehung zum Goidnen Schnitt.

Zu a jäda Streckn und Teilstreckn findt se as Gegenstück, des wo mit eahm im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt stähd. In da Obbildung han olle drei mögliche Strecknpaare in a blaun Fob (längerne Streckn) und in a orangna Fob (kiazaneh Streckn) markiert. Übas oben gschrimne Vafohrn vo da 'stetigen Teilung loß´nahse nacharanand erzeugn. Theoretisch kannt mas im vakleanadn Druhnfuaß fortsetzn, wos ma ins innerne Fünfeck zeichnen kannt, und so aa in olle weídahn. Standn de zwoa Streckn im Vahäidnis vo ganze Zoin, miassad des Vafohrn vo da furthgsetztn Subtraktion na amoi Null ergehm und obbrecha. D´Betrachtung vom Druhnfuaß zoagt aba guad, dass´ iat da Foi is.

Fiahn Beweis, dass aa a Goidner Schnitt is, muaß ma seng, dass neba de Streckn, de olle aus Symmetriegründ gleich long sandt, aa CD=CC' guit. Des kimmd daher, dass as Dreieck DCC' zwoa gleiche Winkl hod, wia ma beim Parallelvaschiam vo da Streckn CC' sigt, und desweng gleichschenklig is. Nochm Strohlnsotz guit :

 \frac{AB}{BB'} = \frac{AC}{CC'}

Dasetzt ma AC=AB+BC und beacht d´Gleichheit vo de auftredendn Teilstück, so erhoit ma genau d´obige Definitionsgleichung fiahn Goidnen Schnitt.

Goidne Spirale[VE | Weakln]

Goidne Spirale

A Goidns Rechteck loßt se in a Quadrat und in no a Goidns Rechteck zerlegn. Durch wiadahoide Teilung erhoit ma a Figur, de se in a logarithmische Spirale eizeichnen loßt. Oft werds aa, wie in dera Obbildung, durch a Foign vo Viertlkreise approximiert. Ihr Radius ändert se bei a jäda 90°-Drehung um den Faktor Φ.

De schnecknförmign Kalkheisl vo a bor Tierartn ham a ähnliche Steigung, wia beispielsweise de vom Nautilus. Bei de meistn vo dene Tierartn iss´d Steigung oba ned so steil.

Goidner Schnitt im Ikosaeder[VE | Weakln]

Drei Goidne Rechtecke im Ikosaeder

De 12 Eckn vom Ikosaeder buihn d´Eckn vo drei gleich große, senkrecht zuaranand stehende Rechtecke mid am gemeinsamen Mittlpunkt und mit am Seitnvahäidnis im Goidna Schnitt. D´Anordnung vo dene drei Rechtecke hoaßt aa Goidner-Schnitt-Stui.

Historischs[VE | Weakln]

Hippasos vo Metapont (um 450 v. Chr.), der am Geheimbund der Pythagoreer oghead hod, is bei seine Studien am Fünfeck oufgfoin, dass as Vahäidnis vo Kontnläng zur Diagonale ned durch ganze Zoin darstellbar war. Des stand im Widerspruch zur Überzeigung vo de Pythagoreer, dass d´Wäid se foiständig durch ganze Zoin bschreim loßn miassad. Ironischerweis homms d´Widerlergung dieser Ansicht agrad in eahne eignen Symbol, dem Druhnfuaß, ghabt. Hippasos hod oiso as Phänomen vo irrationale Zoin anhand da Inkommensurabilität vo Streckn gfundn - dass oiso fiah BC und AD im Buidl vo ohm koa Maß gibt, so dass de zwoa Streckn beide ganzzahlige Vielfache davo wahrn - sowia zwoa Größn, de im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt stengand. Unbestätigtn Berichtn zuafoign hodda des oba aa no andane Leid vazäihd und na hammd d´Leid vom Geheimbund eahm zur Strof datränkt.

D´erschte gscheide Beschreibung vom Goidnen Schnitt is vom Euklid (325 - 270 v. Chr.), der auf den bei seine Untersuchungen an de platonischen Körpern - in Seitnflächn zuaranand kongruente regelmäßige Vielecke - und am Fünfeck beziehungsweis am Druhnfuaß draufgstoßn is. Sei Bezeichnung fiah des Teilungsvahäidnis hamms späda ois "proportio habens medium et duo extrema" eideitscht, wos heid "Teilung im inneren und äußeren Vahäidnis" hoaßad"

Menschliche Proportionen noch Vitruv vo Leonardo da Vinci (1492)

Späda beschäftigte sich da Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 - 1514), der an da Universität vo Perugia in Italien Mathematik glehrt hod, mit Euklids Arbeiten. Er hod d´Streckenteilung Göttliche Teilung gruafa, wos se auf Platons Indentifizierung der Schöpfung mit de fünf platonischen Körpern bezog, zu dera ihra Konstruktion da Goidne Schnitt a wichtigs Huifsmittl dorstäihd. Sei gleichnomigs Werk De Divina Proportione vo 1509 bstähd aus drei unabhängige Biacha. Bei de erstn handelts se um a rein mathemitsche Obhandlung, die jedoch koanaloa Bezuag zur Kunst und Architektur herstäihd. As zwoate is a kurzs Traktat über d´Schriften des Remers Vitruv ausm 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in dene Vitruv - a rämischa Architekt, Ingenieur und Schriftstella - d´Proportionen des menschlichen Körpers ois Vorlage fiah Architektur dorstäihd. Des Biache enthoidt a Studie vo Leonardo da Vinci (1451-1519) übern virtruvischn Menschn. As Vahäidnis da Quadratseitn zum Kreisradius in dem berühmtn Buidl is mit a 1,7%-tigen Abweichung da Goidne Schnitt, der in dem Biacha, des wo dazuaghead, gor ned erwähnt werd. Aa daad ma de Abweichung bei am konstruktiven Verfohrn ned erwartn.

In Obhandlungen vaschiana Autorn im 19. Johrhundert, bsunders vom Philosophen Adolf Zeising (Lit.: Zeising, 1854) san de zwoa Schriftn zua Thesn zamgfügt worn, Pacioli häd in da De Divina Proportione in Zammorbat min Leonardo da Vinci an Zammadhang zwischn Kunst in am Goidnen Schnitt heagstäihd und na sei Wiadaentdeckung fiah´d Molerei vo da Renaissance gründt. Zeising is vo da Existenz von am Naturgsetz da Ästhetik überzeigt gwehn, vom dem d´Basis da Goidne Schnitt häd sei miassn. Er hod gsuacht und aa überroin an Goidnen Schnitt gfundn. Seine Schriftn hom se nachad rasch verbreit und a gscheide Euphorie ausglöst. Ondraseits zaogt a Literaduaanalyse, dass vorm Zeising neamands in de Werke der Antikn oder da Renaissance an Goidnen Schnitt z´kenna glaabt hod. Deraloa Fund´ hand oiso heidzdog umstrittn.

D´Bezeichnung Goidner Schnitt is erschtmois 1835, oiso nur wenige Johr dafiah, vo Martin Ohm (1792-1872; Bruada vo Georg Simon Ohm) in am Lehrbiache da Mathematik verwendt worn (Lit.: Ohm, 1835). Aa des mit dera 'sectio aurea kimmd vo dera Zeit.

Gustav Theodor Fechner, a Begründer da experimentelln Psychologie, hod 1876 bei Untersuchungen mid Versuachspersona anhand vo Rechteck´ agrad a Präferenz fiahn Goidnen Schnitt festgstäihd (Lit.: Fechner, 1876). D´Ergebniss´ der Strecknteilung und bei Ellipsn hand oba anderscht ausgfoin und neizeitliche Untersuchungen zoagn, dass as Ergebnis vo säichane Experimente stark aa vom Kontext der Dorbietung obhängt. Fechner hod bei Vamessungen vo Buidln in vaschiane Museen Europas aa no gseng, dass d´Seitnvahäidniss im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 btrogn und se damit deitlich vom Goidnen Schnitt unterschein.

Onfang vom 20. Johrhundert warn d´Schriftn vom Rumänen Matila Costiescu Ghyka (1927) zum Goidnen Schnitt aktuell, de wo den religiösen Askept vo Pacioli mihm ästhetischn vo Zeising vabundn hom. Fiah eahm war da Goidne Schnitt as fundamentale Gheimnis des Universums und hod dazu vor ollem Beispui aus da Natur brocht.

Am End´ vom 20. Johrhundert hod d´Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mid röntgenanalytische Vafohrn unta da Forb vo Originalgmäidter, de angeblich an Goidnen Schnitt enthoitn, vergeblich noch deraloa Markierungen oder Konstruktionsspuren gsuacht (Lit.: Neveux, 1995).

Architektur[VE | Weakln]

Friae Hinweis auf´d vermuatlich unbwusste Verwendung vom Goidnen Schnitt hand aus da Architektur bekonnt. D´Schriften vom griachischn Gschichtsschreiber Herodot zua Cheops-Pyramide werdn diamoi in der Richtung ausglegt, dass d´Heh vo da Seitnflächn zua Häiftn da Basiskontn im Vahäidnis vom Goidnen Schnitt standad. Agrad de Textstelle, de wo do dazuaghean dad, loßt se aber iat eindeitig auslehgn. Ondraseits werd aa d´Thesn vertretn, dass as Vahäidnis 2:π fiah Pyramidnheh zua Basiskontn de tatsächlichn Moße no bessa wiadaspiaglad. Da Unterschied vo dene zwoa Thesn is 1,0 Promille - oiso ned fui.

Fui Werk´ aus da griachischn Antikn wern ois Beispui fiah´d Verwendung vom Goidnen Schnitt ogseng wia d´Vordafront vom 447432 v. Chr. unter Perikles aufgstäihdn Parthenon-Tempel auf da Athener Akropolis herohmad. Iatz hand´ zu dene oba koane Pläne übaliafad und ma woaß ned, obs de Proportionen durch Zuafoi oda bewusst so gwäihd hom.

Oa in späderne Epochn gibts mehrane Beispui fiah goidne Proportionen, wia beispuisweis da Dom vo Florenz, d´Notre Dame in Paris oda d´Torhalle in Lorsch (770 n. Chr.)

Es gibt oba koan empirischn Nochweis fiah a signifikant greßane Heifigkeit vom Goidnen Schnitt in dene Epochn ois wia bei ondane Teilungsvahäidnisse. Ebenso fäihn historische Beleg´ fiah a obsichtliche Verwendung vom Goidnen Schnitt.

Da Architekt und Mola Le Corbusier (1887–1965) hod, basierend auf de menschlichn Moßn und am Goidnen Schnitt, ab 1940 a eiheitlichs Moßsystem entwickelt. In seina Schrift Der Modulor (1949), de wo zu de bdeitendstn Schriftn da Architekturgschicht beziehungsweise -theorie ghead, hoda des veröffntlicht. Scho 1934 is eahm fiah´d Anwendung vo mathematischn Ordnungsprinzipien vo da Universität Zürich da Titl doctor honoris causa da mathematischn Wissnschoftn valiahn worn.

Kunst[VE | Weakln]

Inwiaweid d´Verwendung vom Goidnen Schnitt in da Kunst z´bsunders ästehtische Ergnisse führt, is letztlich a Frog da jeweis herrschndn Kunstauffossung. Fiah d´generelle Thesn, dass de Proportion bsunders osprechend und harmonisch empfundn werd, gibts koane gschichtlichn Belege. Fui Künstla setztnd an Goidnen Schnitt bewusst ei, bei fui Werke hand d´Kunsthistoriker erst im Nochhinein drauf gstoßn. De Befunde han allerdings ongsichts vo da Fülle an Kandidaten fiah an Goidnen Schnitt, wia mas in am reich vaziahdn Gmäidt´ findn ko, oft umstrittn.

So wernd zohlreiche Skulpturen griachischa Buidhaua, wia da Apollo von Belvedere, de wo am Leochares (um 325 v. Chr.) zuagschrim werd, oda de Werke vo Phidias (5. Jhd. v. Chr.) ois Beispui fiad Verwendung vom Goidnen Schnitt ogseng. Aufn letztern beziagt se aa de heid übliche Bezeichnung Φ fiah an Goidnen Schnitt, de wi vom amerikanischn Mathematiker Mark Barr eigführt worn is. De ehmfois diamoi vawendte Bezeichnung τ beziagt se dagehgn auf des griachische Wort tome fiah Schnitt.

Da Goidne Schnitt werd aa in fui Gmäidter da Renaissance vermuat´, wia bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, zum Beispui bei Dürers Säibstbuidnis 1500 und seim Kupferstich Melancolia I vo 1514.

Künstla vo da Neizeid, de an Goidnen Schnitt bewusst eisetztand han beispuisweis Mondrian, Paul Signac und Georges Seurat, Herge odraa de Künstla vo da Section d'Or.

Aa in da Fotografie werd da Goidne Schnitt zua Buidgstaltung eigsetzt, wia beispuisweis vom franzäsischn Fotograf Henri Cartier-Bresson.

Im Buachdruck is friahras gelegentlich d´Nutzflächn vo a Seitn, da sognennde Satzspiegel, so positioniert, dass as Vahäidnis vom Bundsteg zum Kopfsteg zum Außensteg zum Fuaßsteg se wia 2:3:5:8 vahoidt. De Wahl wo dene Fibonacci-Zoin approximiert an Goidnen Schnitt.

Künstla und Hondwerka ham im 19. Johrhundert zua Konstruktion beziahungsweis zua Überprüfung vom Goidnen Schnitt oft aa an Goidnen Zirkel hergnumma, dem wo seine beide Schenkel x-förmig noch ohmad zua am zwoatn Zirkel verlängert gwehn hand´, und dem seine Schenkellängen so gwäihd warn, dass as Vahäidnis da beidn Obschnitt´ an Goidnen Schnitt buidt hod. Andane Instrumenter ham d´Form von am Storchschnabel ghabt.



Literadua[VE | Weakln]

Historische Literadua[VE | Weakln]

  • Fra Luca Pacioli: Divina Proportione (Venedig 1509), hg. und übers. von Constantin Winterberg, Wien: Verlag Carl Graeser 1888 Print on Demand.
  • Martin Ohm: Lehrbuch der gesammten höhern Mathematik. Bd 2. Friedrich Volckmar, Leipzig 1835, 1837. (weniger abstrakt, mehr anschaulich)
  • Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Leipzig 1854.
  • Adolf Zeising: Das Normalverhältniss der chemischen und morphologischen Proportionen. Rudolph Weigel, Leipzig 1856.
  • Gustav Theodor Fechner: Zur experimentalen Ästhetik., Hirzel, Leipzig 1871. (Vorschule der Ästhetik)

Neiare Literadua[VE | Weakln]

  • Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2004. ISBN 3-937219-00-5 (anschaulich geschriebenes Standardwerk des Basler Mathematikers)
  • Dr. Ruben Stelzner: Der goldene Schnitt und das Mysterium der Schönheit. in: Tycho de Brahe Jahrbuch. Tycho-Brahe-Verl., Niefern-Öschelbronn 2005. ISBN 3-926347-28-7 (naturwissenschaftlich-philosophische Darstellung)
  • P. H. Richter, H.-J. Scholz: Der Goldene Schnitt in der Natur. in: Ordnung aus dem Chaos. Hrsg. B.-O. Küppers. Serie Piper. Piper, München 1987, S.175-214. ISBN 3-492-10743-5
  • Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-8154-2511-5, ISBN 3-7281-2336-6
  • Marguerite Neveux, H. E Huntley: Le nombre d’or – Radiographie d’un mythe. Seuil, Paris 1995. ISBN 2-02-025916-8
  • Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum Akad. Verl., Heidelberg, Berlin - Oxford ²1996. ISBN 3-86025-404-9
  • Roger Herz-Fischler: A mathematical History of the Golden Ratio. Dover Publications, New York 1998. ISBN 0-486-40007-7
  • Jürgen Fredel: Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt. Lit Verlag, Hamburg 1998. ISBN 3-8258-3408-5 (Diss. Hamburg, 1993)
  • Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. John Wiley & Sons, New York 2001, S.239-299. ISBN 0-471-39969-8
  • Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. Frommann-Holzboog, Stuttgart - Bad Cannstatt 2005. ISBN 3-7728-2218-5
  • S. King u. a.: On the mystery of the golden angle in phyllotaxis. in: Plant, cell & environment (PC & E). Blackwell, Oxford 27.2004,6 (Juni), S.685-96.
  • Klaus Podirsky: Fremdkörper Erde - Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge und die Strukturbildung im Sonnensystem. Kontext. info3-Verlag 2004. ISBN 3-924391-29-7 (Die faszinierende These einer gemeinsamen Evolution von Kosmos, Erde und Mensch)
  • Nautilus, the enigma of the empire, Osvaldo Rea, ISBN 88-901473-8-5
  • Nautilus, l'enigma dell'impero, Osvaldo Rea, ISBN 88-901473-9-3
  • Nautilus, l'enigme de l'empire, Osvaldo Rea, ISBN 88-901473-7-7

Im Netz[VE | Weakln]

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