Eifiahrung in de Trägalehr

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De drei Zaubafoamln in da Statik lautn:

De Summan vo oin horizontoin Kräftn is nui! De Summan vo oin veatikoin Kräftn is nui! Und de Summan vo oin Maumentn is nui!

Waunst de kaunst, hosd scho gwunna, wäu im Grunde is sonst nimma vü. Mit den drei Gleichgwichtsbedingungan rechnan ma uns de Auflogakräft' und de Schnittgressn aus.

Auflogakräft'[VE | Weakln]

Jeda Bautäu, wuascht ob's hiaz a Träga, a Deckn, a Bruckn oda sunstwos is, muass iagendwo aufliagn. De Lost, wos aufn Bautäu kummt, wiad iwa'd Aufloga weidagleit'. Des hoaßt, de Aufloga setzn unsam Bautäu an Widastaund entgegn, des san de Auflogakräft'. De miassn natiali so groß sei, dass de Summan vo oin Kräftn und Maumentn nui is, wäu genau daun is unsa System im Gleichgwicht.

Schau ma uns a poa Beispü' dazua au, dass a bissl a Gfüh kriagts, wia sowos owerennt.

Beispü Oafödträga mit Oanzlkroft[VE | Weakln]

Mia haum an 10,0 m laungan Träga, dea wos mit 12 kN in Födmittn belost' wiad. Links is des Aufloga A, des is a gelenkigs Aufloga, des wos veatikole und horizontole Kräft' aufnehman kau. Rechts is des Aufloga B, des is a vaschieblichs Aufloga, wos nua vertikole Kräft' aufnehman kau.

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Rechma uns ois easchtas unsa Ah aus. Fia des nehma de Gleichung de Summan vo de horizontoin Kräftn is nui hea.

De oanzige horizontole Kroft wos ma haum is des Ah, drum is des glei nui.

Ois nächtas woin ma uns des Av ausrechnan. Es suitat scho vom logischn Denkn hea iagendwia kloa sei, dass de Höftn vo de 12 kN aufs linke Aufloga gengan und de aundare Höftn aufs rechte, wäu da Träga symmetrisch is. Owa rech ma's uns trotzdem aus zua Üwung, wäu bei de spätan Beispü is daun ned so oafoch.

Prowia ma amoi de Gleichung de Summan vo de veatikoin Kräftn is nui.

De zwööfe san deswegn negatiav, wäu's in de aundre Richtung wiakn ois wia de aundan beidn Kräft'. Wo de positiave Richtung is kaunst da söwa definian. I hob hiaz auffezua ois positiav augnumma und de Kräfte wos owezua wiakn, san daun natiali negatiav.

Nua hauma do hiaz a Praublem, wäu mia haum zwoa Unbekaunte, des hoaßt, de Gleichung kenn ma ned lösn. Oasch.

Prowia ma a aundre Gleichung: de Summan vo oin Maumentn is nui. Des güüt fia olle Punkte, nua hauma daun wieda zwoa (oda meah) Unbekaunte drin. Drum miass ma den Drehpunkt so wöhn, dass des B weckafoit, waun ma uns des Ah ausrechnan wuin. Des hoaßt, mia drahn uman Punkt b, wäu a Kroft ohne Ohstaund eazeigt koa Maument, nocha foit des B ausse.

Stöö ma de Gleichung auf: de Summan vo de Maumentn uman Punkt b is nui.

Wos draht ois uman Punkt b? De Kroft B ned, des hob i scho gsogt, aa ned de Kroft Ah, wäu ma Kräfte entlaung vo da Wiakungslinian beliabig vaschiam kau und da Ohstaund zan Drehpunkt (damit is imma da Ohstaund noamäu zua Kroft gmoant) nui is. Oiso draht es Av in an Ohstaund vo 10,0 m im Uhrzoagasinn und de 12 kN im Ohstaund vo 5,0 m gengan Uhrzoagasinn uman Punkt b. I nimm hiaz ois wos im Uhrzoagasinn draht ois positiav au, des kaunst da aa wieda definian wiast wüsd.

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Des miass ma hiaz noch Av umfoaman, wäu des wuin ma jo wissn.

Dessöwe moch ma beim Aufloga B. Mia kennan hiaz de Gleichung de Summan vo oin Maumentn uman Punkt a is nui vawendn oda aa scho de Summan vo oin veatikoin Kräftn is nui, do hauma aa nua meah oa Unbekaunte. Rech ma zeascht des oane und nocha aa no des aundre, wäu des schod jo nix.

Uman Punkt a draht de Auflogakroft B mit 10,0 m Ohstaund gengan Uhrzoagasinn und de 12 kN im Ohstaund 5,0 m im Uhrzoagasinn. Ois wos im Uhrzoagasinn draht, hob i wieda ois positiav augnumma.

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Und zua Kontruin moch ma no Summan vo de veatikoin Kräftn is nui. Wäu waunst di bei de Auflogakräftn vaduast, is ois aundre aa foisch.

Passt, des is gfressn!

Beispü Oafödträga mit Gleichlost[VE | Weakln]

Hiaz hauma an 8 m laungan Träga mit ana Gleichlost vo 5 kN pro Meda iwaroi driwa. Bei ana Gleichlost miass ma uns de Resultiarende ausrechnan. De is bei ana rechteckadn Gleichlost in da Mittn, bei ana dreieckadn im Drittlpunkt etc. Da Rest is wieda genauso wia beim vurign Beispü.

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Zeascht des Ah mit Summan vo de horizontoin Kräftn is nui.

Ois nächtas des Av mit Summan vo de Maumentn uman Punkt b is nui.

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De Gleichlost hod 5 kN pro m und geht iwa 8 m, oiso muasst de beidn Weate muitiplizian, dassd de Resultiarende aussekriagst. De greift genau bei da Hööftn au, oiso bei 4,0 m. De positiave Drehrichtung is im Uhrzoagasinn augnumma.

Dessöwe wieda fias B, do miass ma uman Punkt a drahn.

Und ois Kontruin de Summan vo de Veatikoin.

Passt!

Beispü Oafödträga mit Krogoam[VE | Weakln]

Ois nächstas hauma scho an bissl kompliziadan Träga. Waunst a schräge Kroft (oda an schrägn Träga) hosd, muasst da mim Sinus oda Cosinus ihn Horizontoi- und Veatikoiauntäu davau ausrechna.

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Zeascht de Summan vo de Horizontoin.

Nocha de Summan vo de Maumente uman Punkt b (positiave Drehrichtung im Uhrzoagasinn). Pass auf mit de Vuazeichn, dassd di ned vaduast.

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... und de Summan vo de Maumente uman Punkt a.

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Zan Schluss wieda a Kontruin mit da Summan vo de Veatikoin.

Glick ghobt!

Beispü knickta Träga[VE | Weakln]

Bei an knicktn Träga is' aa wieda es söwe. De strichliatn Linian san de Kennfosa, sozusogn wo dass unsa „untn“ is, des weama daun späda no brauchn.

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Zeascht de Summan vo de Horizontoin.

Nocha de Summan vo de Maumente uman Punkt b (positiave Drehrichtung im Uhrzoagasinn).

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Av is negatiav, wos hoaßt des hiaz? Des Av wiakt ned in de Richtung, in de ma's zeichnat haum, sondan noch owezua. Des hoaßt, mia miassn den Träga festhoidn, wäura uns ohhebm wü.

Ois nächstes rechma wieda de Summan vo de Maumente uman Punkt a. Da Noamäuohstaund vo de 60 kN san 0,5 m, waun ma de Kroft gedaunklich auf ihra Wiakungslinian noch links vaschiam, siacht ma des am gscheidastn.

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Zan Schluss wieda a Kontruin mit da Summan vo de Veatikoin.

Passt, meah veatikole Kräft' hauma ned.

Beispü Krogträga[VE | Weakln]

A Krogträga, wia zan Beispü a Boikaunplottn, hod auf ana Seitn a eigspaunts Aufloga, des wos horizontole Kräft', veatikole Kräft' und Maumente aufnehman kau und auf da aundan Seitn a freies End.

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Zeascht de Summan vo de Horizontoin.

Nocha kenn ma de Summan vo de Veatikoin rechna.

Und zan Schluss de Summan vo oin Maumentn ums Aufloga is nui. Nenn ma den Punkt groß A, dass ma'n ned mim Auflogamaument Ma vawexsln.

Des Ah und des A_v eazeign koa Maument um den Punkt A, wäu's koan Heblsoam haum, de foin ausse. Des Ma is ja scho a Maument und braucht dahea koan Ohstaund, wia ma's bei de Kräftn mochn, und wiad dahea oafoch so augsetzt.

Ois Kontruin kenn ma no de Summan vo oin Maumentn ums rechte End mochn, nenn ma den Punkt am frein End B. Da haum de 20 kN und es Ah koan Heblsoam, de eazeign oiso koane Maumente um diesn Punkt.

Des passt aa.

Schnittgressn[VE | Weakln]

Ma kau ihn Träga gedaunkli aun jeda Stöö duachschneidn und nua oan Täu betrochtn. Aa diesa Täu muass im Gleichgwicht sei, so wia's aißare System. Aum Schnittufa wiakt a Noamäukroft N, a Queakroft V und a Biegemaument M, de ma se wieda mit unsan Gleichgwichtsbedingungan ausrechnan kenna. De Noamäukroft wiakt in da Richtung vo da Stobaxn (x-Axn), oiso noamäu zan Queaschnitt. De Queakroft wiakt quea zua Stobaxn (in de Richtung vo da z-Axn). Es Maument draht bei an zwoadimensiaunäun System um de y-Axn. De Vuazeichn kaunst da hiaz nimma aussuachn: de positiave Noamäukroft wiakt imma vom Schnittufa wecka, de positiave Queakroft geht bei an linkn Schnittufa noch owezua und bei an rechtn noch auffezua. Es positiave Maument is so definiat, dass de untare Fosa zogn wiad und de oware druckt, oiso es draht sozusogn vo untn noch obm.

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Waun ma aun jeda Stöö vom Träga duachschneidn, kriag ma de Linian vom Maumentn-, Queakroft- und Noamäukroftvalauf.

Beispü Oafödträga mit Oanzlkroft[VE | Weakln]

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Schau ma uns des bei unsam Beispü au. Des Maument bei de Aufloga is nui, wäu a glenkigs Aufloga koane Maumente aufnehman kau. Schneid ma amoi in da Mittn vom Träga duach und rech ma uns des Maument an dera Stöö aus. Mia kennan den rechtn oda den linkn Täu heanehma, des is wuascht - waunst gscheid bist, nimmst da den Täu, wo weniga Kräft' augreifn. In dem Foi is owa ziemli gleich. Nochdem jo da ohgschnittane Täu aa im Gleichgwicht sei muass, nehma oafoch de Gleichung de Summan vo oin Maumentn uman Schnittpunkt is nui hea.

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Wos draht ois uman Schnittpunkt? Amoi des Biegemaument M, des draht gengan Uhrzoagasinn, nehma des ois positiave Drehrichtung. Und de Auflogakroft Av, de draht im Ohstaund 5,0 m im Uhrzoagasinn, de hauma se scho ausgrechnat, des san 6 kN. De 12 kN und des Ah haum koan Heblsoam und foin dahea wecka, genauso wia's V und N. Oiso kenn ma de Gleichung aufstöön:

Des is des Maument in Födmittn. Wia schaut des Maument zan Beispü im Viadlpunkt aus? Da ändat se nua da Ohstaund vo 5,0 m auf 2,5 m, da Rest bleibt glei, oiso is des Maument duatn genau hoib so groß. Waun ma des aa aun oin aundan Stöön mochn, weama sehn, dass des Maument linear austeigt, oiso is da Maumentnvalauf a Grode. Des maximole Maument hauma genau in Födmittn. Zeichma hiaz de Maumentnlinian. Im Auflaga is nui, in Födmittn + 30 kNm und beim rechtn Aufloga wieda nui, dazwischn vabind ma de Punkte mit ana Grodn. A positiavs Maument wiad noch owezua zeichnat, des is wichtig, wäu im Stoibedaubau wiad duatn de Bewehrung valegt, wo's Maument auftrogn wiad. Oiso waun ma a positiavs Maument haum, des untn auftrogn wiad, brauch ma aa de Bewehrung auf da Untaseitn vom Träga.

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Oigmoa kau ma se draus a Fuaml healeitn, wia ma sie des maximole Maument bei an Oafödträga mit ana Oanzllost in Födmittn ausrechnat, ohhängig vo da Stützweidn l [m] und da Oanzlkroft F [kN]:

Do muass logischaweis des söwe aussekumman.

Schau ma uns ois nächstas de Queakroft au. Dofia schneid ma amoi gaunz knopp links vo da eiwiakandn Kroft duach und amoi knopp rechts davau und büdn de Summan vo de vertikoin Kräftn, de muass natiali nui sei. Aufpassn, dassd de Queakroft ned mit de veatikoin Kräft' vawexlst, de wiad aa mit V bezeichnat, is zwoa meistns aa veatikoi, owa ned imma.

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Wos hauma fia veatikole Kräft'? Nua des Av und unsa Queakroft, de in'd Gegnrichtung wiakt.

Nocha schneid ma gaunz knopp rechts vo de 12 kN duach, so dass de aa no wiakn und büdn wieda de Summan vo de Veatikoin.

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Oiso schaut unsa Queakroftvalauf so aus, dass ma auf da linkn Hööftn a Queakroft vo 6 kN haum und auf da rechtn a Queakroft vo - 6 kN. Duatn, wo de Kroft vo 12 kN augreift, is a Sprung in da Queakroftlinian, dea is gleich groß wia de Kroft. Wo koa Kroft und nix augreift, ändat se nix, duat is' linear. Bei da Queakroft is übli, dass de positiave noch auffezua zeichnat wiad.

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Eigantli siacht ma ihn Queakroftvalauf auf oan Blick. Links gehts mit da Auflogakroft Av auffe, nocha wo koa Kroft wiakt grod ume, daun mit de zwölfe owe und zan Schluss schliaßts sa se wieda mit da Auflogakroft B.

Und de Noamäukroft siecht ma aa auf an Blick, de is nui. Waun ma de Summan vo de horizontoin Kräftn mochn, hauma nua des Ah und de Noamäukroft, wäu's Ah nui is, is aa de Noamäukroft nui.

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Beispü Oaföödträga mit ana Gleichlost[VE | Weakln]

So, moch ma des söwe bei unsam zweitm Beispü.

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Schneid ma wieda in da Mittn duach und büüd ma de Summan vo de Maumentn uman Drehpunkt, wäu in da Mittn is' maximole Maument.

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Waun ma aun ana aundan Stöö duachschneidn, nocha seh ma, dass de Maumente koan linearn Zaumanhaung haum, sondan de Maumentnlinian is duatn, wo a Gleichlost wiakt, a quadrotische Parabl. Wia zeichnest aum oafochstn a Parabl? Du trogst da ois easchtas zwoa Moi ihn Parablstich auf, oiso de 40 kNm. Nocha vabindst den untan Punkt mit de Aufloga, so kriagst de Aunfaungstangentn. Und de Endtangentn is a Parallöle zua Sehnan vo da Parabl (in dem Foi a Horizontole zua unsan Träga), de wos duachn mittlan Punkt geht.

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Dofia kau ma se aa wieda a oigmoane Fuaml healeitn, de suit ma auswendig wissn, des is sowos wia des a² + b² = c² in da Mathematik, de hod in da hochdeitschn Wiki sogoa a eigane Weidaleitung. q [kN/m] is de Gleichlost und l [m] de Stützweidn.

Kummt natiali des gleiche ausse.

Ois nächstas schau ma se de Queakroft au, de geht links mit da Auflogakroft Av = 20 kN auffe, nocha mit 5 kN pro Meda owe (des iwa 8,0 m) und zan Schluss schließts wieda mit da Auflogakroft B, des san ebmfois 20 kN.

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Und de Noamäukroft is wieda nui iwa'd gaunze Längan.

Beispü Oafödträga mit Krogoam[VE | Weakln]

Fia den Träga gibt's koane featign Fuamln, des miass ma ois söwa rechnan. Um jedn Punkt, wo a Kroft augreift, miass ma duachschneidn und de Summan vo de Maumentn um diesn Punkt rechna. Nocha schau ma, dass ma de Maumentnlinian zaumkriagn.

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Beim linkn Aufloga und rechts aum frein End is es Maument nui.

Schneid ma ois easchtas noch da Gleichlost, nenn ma den Punkt 1. Da draht es Maument gengan Uhrzoagasinn, de Resuitiarende aa gegan Uhrzoagasinn und des Av im Uhrzoagasinn.

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Daun duat, wo de schräge Kroft augreift, des is da Punkt 2. Nehma diesmoi den rechtn Trägatäu hea. Da draht des Maument, des B und de 10 kN.

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Und ois nächstas rech ma des Maument im Aufloga B, nenn ma des Mb. Da drahn nua de 10 kN und des Maument. Is hiaz im Grunde wia a Krogträga, do muass a negatiavs Maument ausse kumman, wäu ma obm Zug und untn Druck haum.

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Bevua ma de Maumentnlinian zeichnan kenna, miass ma uns no ausrechnan, wiavü dass de Parabl bei da Gleichlost duachhängt. De Gleichlost hod 4 kN/m und geht iwa 2 m. Bezeich ma den Parablstich ois M0. Zan Konstruian vo da Parabl wiad dea zwoamoi vo da Sehnan noch owezua (ned noamäu zua Sehnan) auftrogn, und zwoa in da Mittn vo da Gleichlost.

Nocha schaut de Maumentnlinian so aus, bei da Gleichlost a Parabl, wo a Kroft augreift a Knick und dazwischn linear.

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Des maximole Maument is a negatiavs Maument, und zwoa des beim Aufloga B. Des gresste Födmaument Mmax,F is iagendwo zwischn da Resultiarendn vo da Gleichlost und dem Punkt 1, und zwoa genau duat, wo de Queakroft nui is. Hiaz varrod i eich wos, de Maumentnlinian is nix aundas wia des Integräu vo da Queakroftlinian (und de Queakroftlinian is nix aundas ois wia's Integräu vo da Belostung). Waun ma de easchte Ohleitung vo ana Funktiaun nui setzn, kriag ma de Minima und Maxima vo dera Funktiaun, oiso muassd de Queakroft glei nui setzn. De miass ma uns zeascht iwahaupt amoi ausrechnan, is owa gaunz oafoch, zeascht mim Aufloga Av auffe, nocha mit da Gleichlost und ihm Veatikoiautäu vo da schrägn Kroft owe, mit Aufloga B wieda auffe und zruck auf nui mit de 10 kN.

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Hiaz schau ma, in wöchn Ohstaund de Queakroft ihn Träga schneidt, wäu duat is' nui.

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Links hauma a Queakroft vo 5,33 kN, de is gleich groß wia de Auflogakroft Av. De Gleichlost geht mit 4 kN/m owe, noch wia vü Meda schneids ihn Träga? Gaunz oafoch: mia miassn de Auflogakroft duach de Gleichlost dividian, dass ma'n Ohstaund aussekriagn.

Hiaz wiss ma, aun wöcha Stöö dass ma des maximole Födmaument haum. Es kennt sas woascheinli goa nimma eawoatn zan wissn, wia groß dass' is, oiso rechna ma's. Dofia schneid ma genau im Ohstaund 1,33 m duach und stöön wia imma de Gleichung de Summan vo oin Maumentn uman Schnittpunkt is nui auf.

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Um den Punkt draht des Maument, de Auflogakroft Av im Ohstaund 1,33 m und de Resuitiarende vo da Gleichlost im hoibn Ohstaund.

Und zan Schluss schau ma uns no de Noamäukroft au, de kriag ma, waun ma duachschneidn und de Summan vo de horizontoin Kräftn nui setzn. Mia haum zwoa horizonzole Kräft', des Ah und da Horizontäuautäu vo da schrägn Kroft. Schneid ma amoi iagendwo links vo da schrägn Kroft und nehma'n linkn Täu hea.

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Waun ma'n rechtn Täu heanehman kummt natiali des söwe ausse. Schneid ma amoi rechts vo da schrägn Kroft, do san goa koane horizontoin Kräft', oiso is in dem Täu aa de Noamäukroft nui. Des hoaßt, da Noamäukroftvalauf schaut nocha so aus:

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Beispü knickta Träga[VE | Weakln]

Schau ma uns de Gschicht bei unsam gnicktn Träga au.

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Schneid ma beim Aufloga B und nehma den oban Täu hea. Des positiave Maument is so definiat, dass de Kennfosa zogn wiad, des is de strichliate Linian. Des hoaßt, es draht noch links, oiso im Uhrzoagasinn. Sunstn drahn no de 60 kN im Ohstaund 0,5 m, ebmfois im Uhrzoagasinn.

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Beim linkn Aufloga und beim frein End rechts obm is des Maument nui, oiso kenn ma scho de Maumentnlinian zeichnan, indem ma oafoch linear vabindn.

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Bei da Noamäu- und da Queakroft kenn ma wieda duachschneidn, owa des siecht ma eh auf oan Blick. De 60 kN eazeign im veatikoin Täu a Queakroft und im horizontoin Täu a Noamäukroft, wäu's zan Aufloga Ah ohgleit' wean. Und de beidn veatikoin Auflogakräft' eazeign im horizontoin Täu a Queakroft.

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Beispü Krogträga[VE | Weakln]

Moch ma no gach ihn Krogträga.

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Links beim Aufloga wiakt des Eispaunmaument Ma, rechts aum frein End is des Maument nui, oiso kemma scho de Linian zeichnan. De Queakroft san oafoch de 20 kN und Noamäukroft hauma koa. Des geht eh gschwind.

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De oigmoane Fuaml fiaran Krogoam mit Oanzlkroft laut':

F [kN] is de Belostung und l [m] de Längan.

Schau aa[VE | Weakln]