Stromkroas

A Straumkroas (dt. Stromkreis) is a gschlossans System vo Leitan. Damit a da Straum fliaßn kau, brauchst a elektrische Spaunnung zwischn de Aunschlüss' vo da Quöön und a leitende Vabindung. De Quöön fiaht de Energie zua und a Widastaund (Vabraucha) waundlts um in Wärme, Bewegung oda sunstwos, wäu wiakli vabrauchn kauna's jo ned.

Berechnung vo elektrischn Netzweakn

Bei da Berechnung vo elektrischn Netzweakn göötn de Kirchhoffschen Gsetz':

Easchts Kirchhoffsche Gsetz (Knotnsotz)

Straumknotn mit zua- und ohfliaßandn Ströman

Da Straum, wos bei an Knotnpunkt vo ana Schoitung zuafliaßt, muass sofuat wieda ohfliaßn. De Summe vo de eigehendn Ströman is gleich wia de vo de ausgehendn Ströman oda aundas ausdrückt, de Summan vo oin Ströman is Nui.

$\sum {I_{i}}=0$

Bei dem Beispü rechts fliaßn I₁ und I₃ in den Knotn eine und I₂, I₄ und I₅ ausm Knotn ausse. Noch da Knotnregl eagibt se de fuigande Fuaml:

$\,(I_{1}+I_{3})-(I_{2}+I_{4}+I_{5})=0$

oda umgfuamt

$\,I_{1}+I_{3}=I_{2}+I_{4}+I_{5}$.

Zwoats Kirchhoffsche Gsetz (Maschnsotz)

Beispü fia'd Auwendung vom Maschnsotz

De Summan vo de Täuspaunnungan vo ana Maschn (Umlaufspaunnung) is Nui.

$\sum {U_{i}}=0$

Bei dem Straumkroas rechts addian se de Täuspaunnungen U₁ bis U₅ zua nui. De in da Doastöllung vawendtn Spaunnungspfäu legns Vuazoachn fest.

Beispü

Moch ma glei a Beispü dazua. Mia haum an Straumkroas mit drei Spaunnungsquöön und drei Widaständn (da Umlaufsinn fia de Vuazoachn is aa auge'm). Gsuacht san olle Ströme und Spaunnungan.

Faung ma au. Zeascht brauch ma de Kirchhoffschen Gestz'. Mia haum zwoa Knotn und drei Maschn, des san fünf Gleichungan. Uns reichn owa scho drei, wäu ma drei Unbekaunte haum. Ois easchtas stöö ma de Gleichung nochm Knotnsotz auf. Dea sogt:

$\sum {I_{i}}=0$

Beim Knotn K₁ fliaßt des I₁ wecka und I₂ und I₃ hi.

$-I_{1}+I_{2}+I_{3}=0$

Daun nehma de linke Maschn; nochm Maschnsotz is de Summe vo oin Spaunnungan im Umlaufsinn glei Nui (ihn Umaufsinn kaunst da söwa definian, in dem Foi is a scho auge'm, nämli im Uhrzoagasinn). Olle Spaunungan, de wos im Umlaufsinn ohfoin, san positiav. Mia stoatn links obm bei da easchtn Spaunnungsquöön und gengan amoi im Kroas. De 5 V gengan in da Richtung vo da Maschn, daun de 7 V vo da nächstn Quöön aa, des U₂ zoagt in'd aundre Richtung, oiso miass ma's negatiav eisetzn und des U₁ aa wieda negatiav.

$\sum {U_{i}}=0$

$5V+7V-U_{2}-U_{1}=0$

Des söwe no amoi bei ana aundan Maschn, dass ma a dritte Gleichung zaumkriagn. Nehma des M₂, des is de rechte Maschn (M₃ warad de große Maschn außn harum). Do is da Umlaufsinn gengan Uhrzoagasinn ge'm.

$7V-U_{2}-9V+U_{3}=0$

So, hiaz hauma drei Gleichungan - owa maunche san mit Ströman, aundre mit Spaunnungan. Des hüüft uns so ned weida, drum miass ma olle mim Ohnschen Gsetz auf Ströme bringan.

$U=I\cdot R$

Daun kriag ma ausse:

K₁: $-I_{1}+I_{2}+I_{3}=0$

M₁: $12V-I_{2}\cdot 2000\Omega -I_{1}\cdot 1000\Omega =0$

M₂: $-2V-I_{2}\cdot 2000\Omega +I_{3}\cdot 3000\Omega =0$

Des Gleichungssystem miass ma lösn: iagendwia suit oa Variable weckafoin - foam ma amoi de easchte Gleichung noch I₁ um und easetzn daun I₁ in da zweitn Gleichung duach des, wos aussekummt.

K₁: $I_{1}=I_{2}+I_{3}$

Daun foit nämli's I₁ wecka und mia haum nua zwoa Gleichungan mit zwoa Unbekauntn. Wichtig dabei is, dass des in beidn Gleichungan de söbm Unbekauntn san - drum hauma aa ned de Gleichung K₁ noch I₂ umgfuamt, wäu des kummt in M₁ und M₂ vua.

M₁: $12V-I_{2}\cdot 2000\Omega -(I_{2}+I_{3})\cdot 1000\Omega =0$

Des vaoafoch ma a wengl:

M₁: $12V-I_{2}\cdot 3000\Omega -I_{3}\cdot 1000\Omega =0$

Und daun kenn ma scho eliminian - muitiplizia ma de Gleichung M₁ mit 3 und addians nocha mit M₂ zaum, nocha foit des I₃ ausse:

M₁ · 3: $36V-I_{2}\cdot 9000\Omega -I_{3}\cdot 3000\Omega =0$

M₂: $-2V-I_{2}\cdot 2000\Omega +I_{3}\cdot 3000\Omega =0$

M₁ + M₂: $34V-I_{2}\cdot 11000\Omega =0$

Waun ma des umfuaman, hauma scho unsan easchtn Straum:

$I_{2}={\frac {34V}{11000\Omega }}=3,09mA$

Fia de aundan beidn Ströme suach ma uns a meglichst oafoche Gleichung, de ma umfuaman:

$I_{3}={\frac {12V-I_{2}\cdot 3000\Omega }{1000\Omega }}=2,72mA$

$I_{1}=I_{2}+I_{3}=5,81mA$

Fia de Spaunnungan miassts de Ströme mim Widastaund muitiplizian, des kennts söwa mochn.

Spaunnungstäula

Noch da Spaunnungstäula-Regl vahoidn se Spaunnungan propoationäu zua de Widaständ, aun denan's ohfoin:

$U_{i}=R_{i}\cdot I$

Gemäß Ohmschen Gsetz lässt se da Straum ois Spaunnung brochn duachn Widastaund easetzn:

$U_{i}=R_{i}\cdot {\frac {U}{R}}$

Des hoaßt, de Spaunnung aum betrochtetn Widastaund is de Gsaumtspaunung moi dem Widastaund, aun dems ohfoit, duach olle Widaständ.

Beispü

Wia groß is de Spaunnung U_x, waun da Schoita S offn is (unbelost') und waun da Schoita zua is (belost')?

Waun da Schoita offn is, nocha fliaßt duatn koa Straum, des hoaßt, da rechte Täu foit wecka. De gsuachte Spaunnung U_x foit oiso nua aum 2 kΩ-Widastaund oh, des is unsa R_i. De gsaumte Spaunnung U san 5 V und de foit aum gsaumtn Widastaund R oh, des san 1 kΩ und 2 kΩ in Serie gschoitn, drum miass ma's zaumzöhn.

Setz ma in de Fuaml ei:

$U_{i}=U\cdot {\frac {R_{i}}{R}}$

$U_{x}=5V\cdot {\frac {2k\Omega }{1k\Omega +2k\Omega }}=3,33V$

Waun da Schoita zua is, nocha foit de Spaunnung U_x aum 2 kΩ- und aum 600 Ω-Widastaund oh, de wos zuaranaund parallöö gschoitn san. Da resultiarande Widastaund vo parallöön Widaständn wiad noch da fuigandn Fuaml berechnat, de unta Elektrischa Widastaund#Zaumfossn vo Widaständn zan findn is:

$R_{x}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {2000\cdot 600}{2000+600}}=461,54\Omega$

Des is da Widastaund, wo de gsuachte Spaunnung ohfoit.

Nocha nehma wieda de Spaunnungstäula-Fuaml hea und setz ma ei: de Gsaumtspaunnung bleibt mit 5 V gleich, unsan Widastaund hauma uns grod ausgrechnat und da Gsaumtwidastaund san olle drei Widaständ - de Resultiarende vo de beidn parallöön, des woan de 461,54 kΩ, do wean de 1 kΩ dazuaaddiat, wäu's in Serie dazua gschoitn san.

$U_{x}=U\cdot {\frac {R_{x}}{R}}=5V\cdot {\frac {461,54\Omega }{1000\Omega +461,54\Omega }}=1,57V$

Spaunnungs- und Straumquöön

A Spaunnungsquöön (links) und a Straumquöön (rechts)

A Straumkroas im Leerlauf (links) und a Sraumkroas kuazgschlossn (rechts)

Kennlinie vo ana idealn (in Rod) und vo zwoa linean (in Türkis) Straumquöön und zan Vagleich vo ana realn Quöön in Grean

Ma untascheidt zwischn Spaunnungsquöön (Batterien, Akkus, Generatoan, ...) und Straumquöön (Solarzöön, Fotodiodn, ...). A ideale Spaunnungsquöön liefat ollawäu a konstaunte Quööspaunnung, wuascht, wos fiaran Straum dassd aussezahst. A ideale Straumquöön liefat an konstauntn Straum. In da Praxis geht des nua iwa an gwissn Rauhman, daun brichts ei (siehe Diagraum).

De Quöön kau linar sei oda ned. Bei linearn Quöön is des U-I-Diagraum a grode Linie. Dassd so a lineare Quöön bschreim kaunst, hosd drei Aungobm:

• Leerlaufspaunnung U₀: des is de hechste Spaunnung, wos de Quöön schofft und zwoa is des daun, waun de Klemman offn san, oiso im Leerlauf.
• Kuazschlussstraum I_K: des is da hechste Straum, wos de Quöön schofft. Des is daun, waunst de Klemman kuazschliaßt, oiso ohne Widastaund mitaranaund vabindst.
• Innanwidastaund R_i: des is da innare Widastaund vo da Quöön

Waunst zwoa davau woaßt, kaunst da de dritte iwa's Ohmsche Gsetz ausrechna:

$R_{i}={\frac {U_{0}}{I_{K}}}$

Wia kau ma des messn? An Kuazschluss zu fabriazian warad jo eher ungünstig, drum mess ma oafoch Straum und Spaunnung in zwoa vaschiedanan Betriebszuaständn und rechma uns de Differenz aus.

$R_{i}={\frac {U_{1}-U_{2}}{I_{2}-I_{1}}}$

In da Praxis reichn zwoa Messungan, amoi de Spaunnung im Leerlauf und amoi de Spaunnung bei da Belostung mit an bekauntn Widastaund, wäu de zuaghearign Ströme kaunst da jo daun mim Ohmschen Gsetz ausrechna.

Ma kau des Gaunze in ana Easotzschoitung doastöön, do wiad da Innanwidastaund eizeichnat (des sognaunte Thévenin-Äquivalent bei Spaunnungsquöön bzw. Norton-Äquivalent bei Straumquöön). A Easotzschoitung kaunst ned nochbaun, de sui nua modööhoft doastöön, wos se im Innan vo da Quöön duad, dassd das leichta rechna kaunst. Ois easchtas misst de Leerlaufspaunnung oda rechnast das iwa de Spaunnungstäula-Regl aus. Nocha easetzt de Spaunnungsquöön gedaunkli duach an Kuazschluss (a Straumquöön duach an Leerlauf) und duasd aun de Klemman ihn Widastaund ausrechnan, des is da Innanwidastaund. De dritte Gress, ihn Kuazschlussstraum kriagst daun iwa's Ohmsche Gsetz (Leerlaufspaunnung duach Innanwidastaund).

Easotzschoitbüüd vo ana linearn Spaunnungsquöön (links) und Straumquöön (rechts)

Beispü

De obare Schoitung sui duach de untare äquivalent easetzt wean. Wia groß is de Leerlaufspaunnung, da Innanwidastaund und da Kuazschlussstraum vo dera Schoitung?

De Leerlaufspaunnung kriag ma mit da Spaunnungstäula-Regl: de gsuachte Spaunnung U₀ fööt nua aum 90 Ω-Widastaund oh, siecht des jeda? Da Gsaumtwidastaund san 90 Ω und 6 Ω in Serie gschoitn, des hoaßt 96 Ω. Wäu de 1 Ω san im Leerlauf, oiso duat fliaßt koa Straum (wäu de Klemman offn is). Und de Gsaumtspaunnung is de Quööspaunnung mit de 5 V.

$U_{0}=U\cdot {\frac {R_{x}}{R}}=5V\cdot {\frac {90\Omega }{90\Omega +6\Omega }}=4,68V$

Fia de Berechnung vom Innanwidastaund easetz ma de Spaunnungsquöön gedaunkli duach an Kuazschluss.

Daun schau ma uns vo de Klemman aus ihn Widastaund au. Des is da 90 Ω-Widastaund parallöö zan 6 Ω-Widastaund und dazua no da 1 Ω-Widastaund in Serie.

$R_{i}={\frac {90\cdot 6}{90+6}}+1=6,62\Omega$

Last but not least da Kuazschlussstraum iwa's Ohmsche Gsetz:

$I_{k}={\frac {U_{0}}{R_{i}}}={\frac {4,68V}{6,62\Omega }}=0,71A$

Schau aa

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