Grundlogn vo da Mathematik

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Des san de Grundlogn vo da Mathematik (dt.: Grundlagen der Mathematik).

Mengan, Zoihn, Intervolle[VE | Weakln]

Mengan[VE | Weakln]

Vaeinigungsmenge
Schnittmenge
Differenzmenge : „A ohne B
A is a Teilmenge vo B

A Menge is a gedaunkliche Zaumenfossung vo vaschiedenan Objektn; de nennt ma Elemente vo da Menge. A Menge kaunst auge'm, waunst de Elemente aufzööst oda charakterisiast. Zwoa Mengan san gleich, wauns de sööm Elemente enthoidn. De Menge, wos kane Elemente enthööt, nennt ma Laare Menge.

  • Vaeinigungsmenge (A∪B): enthööt olle Elemente, de wos in A und/oda in B enthoidn san.
  • Schnittmenge oda Duachschnitt (A∩B): enthööt olle Elemente, de in A UND in B enthoidn san.
  • Differenzmenge oda Restmenge (A\B): enthööt de Elemente, de in A, owa ned in B enthoidn san.
  • Täumenge: De Menge A is de Täumenge vo da Menge B, waun jeds Element vo A aa Element vo da Obamenge B is.

Waun a Menge a gresstes oda kloanstes Element enthööt, des is a Maximum bzw. Minimum. Olle Zoihn, de wos kloana gleich oda gressa gleich ois wia de Elemente in da Menge san, san Schraunkn. Vo de untan Schraunkn gibt's a gresste, des is es Infimum. Vo de oban Schraunkn gibt's a kloanste, des is es Supremum. A Haifungspunkt vo ana Menge is, waun in da ε-Umgebung vo dem Punkt unendli vü Elemente vo dera Menge liagn.

Zoihn[VE | Weakln]

  • Natialiche Zoihn: N = {1,2,3,...}, täuweis wird a 0 dazuazööt
  • Gaunze Zoihn: Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
  • Rationäule Zoihn (Brüche): Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}
  • Reelle Zoihn: R = Q + I (I san de Irrationäun Zoihn, des haßt, Zoihn, de ned ois Vahötnis vo gaunzn Zoihn auge'm wean kennan. Des san entweda aa algebraische (z. B. ) oda transzendente Zoihn (z. B. π, e).
  • Komplexe Zoihn: C = {z = a + bi | a, b ∈ R}, a is da Realtäu und b da Imaginärtäu vo z; da Imaginärtäu söwa is aa reell. Ois de zu z = a + ib konjugiat komplexe Zoih bezeichnet ma z = a − ib.

Intavoi[VE | Weakln]

A Intavoi is a zaumhängende Täumenge vo ana g'uadnatn Trägamenge. Es bsteht aus oin Elementn, de zwischn de Grenzn liagn. Ob de Grenzn söwa no dazuaghean, hängt davon oh, ob ma a offans oda a gschlossans Intavoi haum.

  • ohgschlossans Intavoi: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
  • offans Intavoi: ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b}
  • links hoiboffans Intavoi: ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, genauso gibt's aa a rechts hoiboffans Intavoi.

Arithmetik[VE | Weakln]

De Arithmetik bschäftigt se mit Rechnoparationan und Termen und wia ma's vaeifochn oda lösn duad.

Grundrechnoatn[VE | Weakln]

  • Addition: a + b = c (Summand + Summand = Summe)
  • Subtraktion: a − b = c (Minuend − Subtrahend = Differenz)
  • Muitiplikation: a · b = c (Faktor · Faktor = Produkt)
  • Division: a/b = c (Dividend : Divisor = Quotient), de Division durch Nui is ned definiat.

Es göötn de Operatorraungfuign (Punkt vua Srich), de Klaumaregl (Klauman ois easchtes) und es Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgsetz.

Assoziativgsetz:

Kommutativgsetz:

Distributivgsetz:

Neutralität vo 0 und 1:

Gaunzzohliga Exponent[VE | Weakln]

A Potenzfunktion hod de Form an, a wiad ois Basis (Radikand) bezeichnat und n ois Exponent.

a0 ergibt imma 1.

Es güüt:

Rationala Exponent[VE | Weakln]

De Umkehrfunktion zan Potenzian is des Wuazlziagn. Bei da n-ten Wurzl aus a hosd a nednegative Lösung, waun a aa koa negative Zoih is und n a natialiche Zoih gressa 1. De zweite Wuazl nennt ma Quadrotwuazl, de dritte Kubikwuazl.

Logarithmus[VE | Weakln]

Ois Logarithmus vo ana Zoih a zur Basis b bezeichnat ma de Zoih x, de de Gleichung a = bx löst. Des Logarithmian is a Umkehroperation vom Potenzian:

  (Logarithmus vo da Zahl a zua Basis b; a, b san positive reelle Zoin)

Speziäufälle:

  (binära Logarithmus)
  (natialicha Logarithmus)
  (dekadischa Logarithmus)

Logarithmangsetz':

Obsolutweat[VE | Weakln]

Da Obsolutweat oda Betrog vo ana reellen oda komplexn Zoih is da Ohstaund vo Nui, des is imma a nednegative reelle Zoih.

  • |x| = x, wenn x ≥ 0
  • |x| = −x, wenn x < 0

Komplexe Zoihn[VE | Weakln]

Gaußsche Ebene mit ana komplexn Zoih in kartesischn Koordinatn (a,b) und in Polarkoordinatn (r,φ)
De Addition vo zwoa komplexn Zoihn in da komplexn Ebene vaaunschaulicht
De fünf fünftn Wuazln vo 1 + i√3 = 2 · eπ · i/3

Waunst a quadrotische Gleichung lösn wüsd, hosd des Problem, dassd unta da Wuazl a negative Zoih stehn hosd. Sowos kaunst in de Reelln Zoihn ned lösn, wäu jede Zoih mit si söwa muitipliziat imma wos Positivs is. Drum hod da Carl Friedrich Gauß de Komplexn Zoihn eigfiat, de bestehngan aus an Realtäu und an Imaginärtäu. Da Realtäu is des wos ma kennan; da Imaginärtäu is aa a Reelle Zoih, owa mit da imaginärn Eiheit i, de wos in da Gaußschen Zoihnebane noamäu zua realn Achsn steht. i² is dobei (-1). Beispü: 2 + 3i.

A komplexe Zoih z kau aa in da Polardoastöllung auge'm wean, do wiad stott da x- und y-Koordinatn da Betrog r (= |z|) und da Wingl φ auge'm; de Umrechnung eafuigt aus geometrischn Iwalegungan:

Rechnregln:

Addian und Subtrahian geht aum oafochstn in da Real-/Imaginärtäu-Doastöllung (z = x + yi); Muitiplizian, Dividian, Potenzian, Wuazlziahgn und Logarithmian aum gscheidan in da Polardoastöllung (z = r · e).

(es gibt so vü Lösungan, de wiavüüte Wuazl dass ma haum)
(es gibt unendli vü Lösungan)

Summe, Produkt, Fakultät, Binominäukoeffizent[VE | Weakln]

Fiara meahfoche Summe schreibt ma kuaz:

Dessöwe geht aa fia Produkte:

Waun n a natialiche Zoih is, nocha is de Fakultät vo n:

Waun a a reelle Zoih und k a natialiche Zoih is, is da Binominäukoeffizent a iwa k fuigendamoßn definiat:

Analytische Geometrie[VE | Weakln]

Koordinatn und Punkte[VE | Weakln]

Punkt in da Ebene

A jeda Punkt P in da Ebene wiad duach zwoa karthesische Koordinatn bschriebn, des san de Abszissn (x-Koordinatn) und de Ordinatn (y-Koordinatn). De x- und y-Achsn büdn de via Quadrauntn. Beim Polarkoordinatnsystem hosd den Wingl und den Ohstaund zan Uasprung auge'm. Mi'm Pythagoras a² + b² = c² kaunst da den Ohstaund zwischn zwoa Punktn ausrechnan, waun de Koordinatn bekaunt san.

Grodn[VE | Weakln]

Lineare Funktion

A Grodn wiad duach an Punkt vo da Grodn und de Steigung bschriam.

k = (y2 − y1)/(x2 − x1)
y − y0 = k (x − x0)

A Grodn y = kx + d ist parallöö zua y0 = k0x + d, waun k = k0 is. Noamäu drauf is', waun k · k0 = −1

Kraas[VE | Weakln]

De Kegelschnitte: Kraas, Ellipse, Parabel, Hyperbl

A Kraas is de Menge vo oin Punktn vo ana Ebene, de wos an konstauntn Ohstaund zua am vuagebanan Punkt auf diesa Ebene (dem Mittelpunkt M) haum. Da Ohstaund vo de Kraaspunkte zan Mittlpunkt is da Radius r. De Gleichung fiaran Kraas mim Mittlpunkt M (a, b) laut': (x − a)2 + (y − b)2 = r2.

Ellipsn[VE | Weakln]

A Ellipsn is a Keglschnitt; se wiad defniat ois de Menge vo oin Punktn vo ana Ebene, fia de de Summan vo de Ohständ zua zwoa gebanan Punktn F1 und F2 (Brennpunkte) gleich is. De Variabln a und b wean ois Hoibachsn vo da Ellipsn bezeichnat. Wauns gleich san, nocha is de Ellipsn a Kraas.

De Staundardfuam vo ana Ellipsn laut':

Mittlpunkt , Hauptachsn parallöö zua x-Achsn

Hyperbl[VE | Weakln]

Hyperbel

A Hyperbl is definiat ois de Mengan vo oin Punktn vo ana Ebene, fia de de absolute Diffarenz vo de Ohständ zua zwoa gebanan Punktn auf da Hauptachsn, den Brennpunktn F1 und F2, konstant gleich 2a is.

De Gleichung vo ana Hyperbl in da easchtn Hauptlagn laut' (x-Achsn ois Hauptachsn):

In da zweitn Hauptlagn (y-Achsn ois Hauptachsn):

Parabl[VE | Weakln]

Parabln

A Parabl is definiat ois de Mengan vo oin Punktn vo ana Ebene, deren Ohstaund zua am speziöön festn Punkt (Brennpunkt) gleich dem zua ana speziöön Grodn (Leitlinian) is.

Oigmoane Fuam vo ana Parabl:

Duach de quadrotische Eagänzung kriagst:

mit dem Scheitel

Polynome[VE | Weakln]

A Polynom is a endliche Summe von Vüfochn vo Potenzn. Ois Grad vom Polynom wiad da hechste Exponent n bezeichnat, fia den dass da Koeffzient anxn ned nui is. De Nuistöön san de Weate von x, wo da Funktionsweat nui is.

Polynome vom Grod

  • 0 ... konstaunte Funktion
  • 1 ... lineare Funktion
  • 2 ... quadratische Funktion
  • 3 ... kubische Funktion

Binomische Fuamln:

Quadrotische Eagänzung:

Gleichungan[VE | Weakln]

Graphen vo einign Potenzfunktionen

A Gleichung is a Ausdruck, wo jede Seitn vom Gleichheitszeichn gleich groß is.

Lineare Gleichungan[VE | Weakln]

A linare Gleichung muasst so laung umfuaman, bis de Unbekannte aloa auf ana Seitn steht.

Quadrotische Gleichungan[VE | Weakln]

Quadratische Gleichungan kaunst mit Lösungsfuamln oda mit da quadratischn Eagänzung lösn.

De oigmoane Fuam laut':

  mit

Da Ausdruck b2 −4ac wiad ois Diskriminante D bezeichnet.

Lösungan:

  fois
  fois
koa reelle Lösung fois

Kubische und hechare Gleichungan[VE | Weakln]

Kubische Gleichungan haum drei Lösungan, wo mindestens ane reell is. De beidn aundan san entweda beide reell oder beide komplex. Ma kauns mit da Cardanischen Fuaml lösn. Fia Gleichungan, de hecha wia da viate Grod san, gibts koa oigemoane Lösungsfuaml, de wos nua mit de via Grundrechenoaten und'm Wuazlziagn auskummt.

Wurzlgleichungan[VE | Weakln]

Waunst de Variable unta da Wurzl stehn hosd, is des a Wuazlgleichung. Ois easchtas isoliast oa Wurzl und potenziast daun mim Wuazlexponentn, so dass wecka foit. Dessöwe mochst bei de aundan Wuazln. Wäu potenzian koa Äquivalentumfuamung ned is, muasst nocha no a Probm mochn.

Gleichungan mit Obsolutweatn[VE | Weakln]

Ihn obsoluten Betrog vo ana reelln Zoih eahöötst duach Weglossn vo an Vuazeichn. Waun Q a beliebiga Ausdruck und A ≥ 0 is, daun is de Gleichung |Q| = A äquivalent zua Q = ±A. Dassdn Obsolutweat vo ana Gleichung löst, muasst de Gleichung in Q = A und Q = −A auftäun.

Ungleichungan[VE | Weakln]

Lösn vo ana Ungleichung haßt, dassd alle Weate findn muasst, de wos de Ungleichung eafüün. Im Gegnsatz zua Gleichungan kennan des aa unendli vü sei.

  • waun x ≤ y, daun güüt x ± z ≤ y ± z
  • waun x ≤ y und z ≥ 0, daun güüt xz ≤ yz
  • waun x ≤ y und z ≤ 0, daun güüt xz ≥ yz
  • waun x ≤ y < 0, daun güüt 1/x ≥ 1/y
  • waun 0 < x ≤ y, daun güüt 1/x ≥ 1/y
  • waun x < 0 < y, daun güüt 1/x < 1/y

Fuaman vo Ungleichungan:

  • Lineare Ungleichungan: ax + b ≤ 0 oder ax + b ≥ 0; a, b ∈ R; a 0
  • Quadrotische Ungleichungan: ax2 + bx + c ≤ 0 oder ax2 + bx + c ≥ 0; a, b ∈ R; a 0
  • Rationäule Ungleichungan: P(x)/Q(x)
  • Ungleichungan mit Absolutweaten: |Y| ≤ A ⇔ −A ≤ Y ≤ A oder |Y| ≥ A ⇔ Y ≤ −A

Funktionan[VE | Weakln]

Definitionsbereich und Bildbereich

A Funktion is a Beziehung zwischn zwoa Mengan, de jedm x vo da Definitionsmenge ein y aus da Büdmenge zuauadnet. A Funktion kau duach de Funktionsgleichung, a Zuauadnungsvuaschrift oda a Weatetaböön bschriam wean.

Operationan:

  • (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  • (f − g)(x) = f(x) − g(x)
  • f g(x) = f(x) g(x)
  • (f/g)(x) = f(x)/g(x)
  • Vakettung: g ◦ f(x) = g(f (x))
  • Umkehrfunktion: f(x) = y = f'(x) oda f−1(x)

Exponentiäufunktion[VE | Weakln]

Graph vo da Exponentiäufunktion (rot) mit der Tangentn (hööblau gstrichelte Linian) duach'n Punkt 0/1

A Exponentiäufunktion is a Funktion in da Fuam f(x) = ax; x ∈ R mit der reelln Basis a > 0. De Exponentiäufunktion mit da eulerschen Zoih e = 2,718281... ois Basis is de e-Funktion.

Trigonometrische Funktionan[VE | Weakln]

Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a, b und Hypotenuse c
Sinus, Kosinus und Tangens r=1

De wichtigstn Winglfunktionan san da Sinus, da Cosinus und da Tangens, sowie de Kehrweate davon - da Cosektans, Sektans und Cotangens.

Waunst da den Wingl ausrechnan wüüst, brauchst de Umkehrfunktion (Arkusfunktion).

A poa grundlegande Regln:

  • sin(−θ) = −sin(θ)
  • sin(π − θ) = sin(θ)
  • sin(π + θ) = −sin(θ)
  • sin(2π − θ) = sin(θ)
  • cos(−θ) = cos(θ)
  • cos(π−θ) = −cos(θ)
  • cos(π + θ) = −cos(θ)
  • cos(2π − θ) = cos(θ)
  • tan(−θ) = −tan(θ)
  • tan(π − θ) = −tan(θ)
  • tan(π + θ) = tan(θ)
  • tan(2π − θ) = tan(θ)
  • sin(2α) = 2 sinα cosα
  • cos(2α) = cos²α − sin²α
  • sin(π/2 + θ) = cosθ
  • sin(π/2 − θ) = cosθ
  • cos(π/2 + θ) = −sinθ
  • cos(π/2 − θ) = sinθ

A vulla Kraas (360°) entsprechn 2π. Da Wingl θ in Grad is gleichm Wingl (π/180)θ in Radiant. Da Wingl θ in Radiant is gleichm Wingl (180/π)θ in Grod.

Sinus- und Cosinusfunktion[VE | Weakln]

Graphn vo da Sinusfunktion (rot) und Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionan san 2π-periodisch und nehmen Weate vo −1 bis 1 au.
f(x) = A cos(B (x − φ)) + D
  • |A| ... Amplitudn
  • T = (2π)/B ... Periodn
  • D ... Mittlweat oder Gleichauntäu
  • φ ... Phasn

Vektoan und Matritzn[VE | Weakln]

Vektoan[VE | Weakln]

A Vektoa vom Stoatpunkt A zan Endpunkt B und seine Längan
Des Skalarprodukt vo zwoa Vektoan hängt vo da Längan vo de Vektoan und ihm eigschlossenan Winhl oh.
Vaaunschaulichung vom Kreizprodukt

A Vektoa is a grichtete Gressn („a Pfäu“), dea wos duach an Betrog und a Richtung auge'm wiad. Beispü san Gschwindigkeit, Kroft, elektrische Föödstärkn, ... Des Gegntäu davau is a Skalar, des is a ungrichtete Gressn wia Massn, Temperatua, elektrisches Potenziäu, ...

A Vektor wiad mit an kloan Pfäu driwa gschriam, und es wean de Koordinotn in x-, y- und z-Richtung auge'm:

.

De Längan vom Vektoa is da Betrog, den kriagst iwa'n Pythagoras:

Beim Addian vo Vektoan wiad graphisch da Schoft vom oanan Vektoa aun de Spitzn vom aundan vascho'm, beim Subtrahian de Spitzn aun de aundre Spitzn. In Koordinotnschreibweis is aa gaunz oafoch, do wean nämli de entsprechndn Koordinotn zaumzöht bzw. ohzogn.

Beim Muitiplizian vo an Vektoa mit an Skalar wiad aa oafoch jeda Weat vom Vektoa mim Skalar muitipliziat:

Es Muitiplizian vo zwoa Vektoan is a wengl kompliziada, wäu do gibt's drei Oatn: es Skalarprodukt, es Vektorprodukt unds Spatprodukt.

  • Skalarprodukt, des brauchst, waunst ihn Wingl zwischn zwoa Vektoan wissen wüsd:
Ihn Wingl Phi, des is da Wingl zwischn de zwoa Vektoan, kriagst daun ois Arkuscosinus vom Skalarprodukt brochn duachs Produkt vo de beidn Resultiarandn:
  • Vektoaprodukt (oda aa Kreizprodukt), des brauchst, waunst de aufgspaunte Flächn vo zwoa Vektoan wissen wüsd, des is a Parallelograum:
  • Spatprodukt, des gibt da es aufgspaunte Voluman bei drei Vektoan und is a Kombinatiaun aus de aundan beidn:
(a negitiavs Vuazoachn kaunst dabei ignorian)

Matritzn[VE | Weakln]

Schema fiara oigmoane m×n-Matrix

A Matrix is a rechteckige taböönfeamige Aunuadnung vo Elementn.

Matritzn kennan addiat wean, wauns gleich groß san, indemst oafoch jeds Element mim entschprechndn vo da aundan Matrix addiast.

Beispü:

Fia's Muitiplizian vo ana Matrix mit an Skalar wiad jeds Element vo da Matrix mim Skalar muitipliziat, z. B.:

Zwoa Matritzn kaunst noch da fuigendn Fuaml mitaranaund muitiplizan:

Ois Traunsponiate vo ana -Matrix bezeichnat ma -Matrix , oiso waunst Spoitn und Zäun vatauscht.

De Inverse Matrix is de Kehrmatrix, de wos mit da Ausgaungsmatrix muitipliziat de Eiheitsmatrix eagibt.

Beispü: De Inverse vo da Matrix

is

,

wäu güüt:

.

De Determinantn is a Matrix ois Zoih ausdrückt, des is des schräg iwa Kreiz rechnan, z. B. vo da Matrix

is de Determinantn:

.

Schau aa[VE | Weakln]

Literatua[VE | Weakln]

  • Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. Suhrkamp, Frankfurt a. M. 1975
  • David Hilbert/Paul Bernays, Grundlagen der Mathematik, I-II, Berlin/Heidelberg/New York 2. A. 1970

Im Netz[VE | Weakln]

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