Knickn

Knickn oda Biegeknickn (dt. Knicken) is, waun a schlaunka stobfeamiga Bautäu duach de Eiwiakung vo ana Druckkroft (in da Stobachsn) oda an Maument seitli ausweicht, des hoaßt, sei Stabilität valuist bis a schliaßli vasogt. A weitare Meglichkeit is Biegedrillknickn oda Kippn, des is, waun se de Stobachsn aa no vadraht.

Waunst da a Lineäu vuastööst, des wosd senkrecht aum Tisch stööst und nocha draufdruckst, solaungs grod steht, wiads einigs aushoidn. Owa soboids sa se seitli ausbeult und du weida draufdruckst, nocha kaunst das vagessn, wäu daun kriagst a Maument eine und des Gaunze bricht zaum. Des Knickproblem is grod im Stoibau vo Bedeitung, wäu da hauma dünne, schlaunke Bautäu.

Knicknochweis fia zentrisch druckte grode Stäbe mit ana konstauntn Biegesteifigkeit

De via Eulerfälle

Wia gehma da vua? Mia schaun easchta, wos ma fia a Knicklängan haum. De Knicklängan hängt natiali amoi vo da Stoblängan oh und davau, wia dass da Stob glogat is. Ma unterscheidt de via Eulerfälle, benaunt nochm Leonhard Euler, fia de da entsprechende Knicklängenbeiweat β zan eisetzn is:

• 1. Eulerfoi: auf da oan Seitn eigspaunt, auf da aundan frei (β = 2)
• 2. Eulerfoi: beide Endn glenkig glogat (β = 1)
• 3. Eulerfoi: oans eigspaunt, des aundre glenkig (β ≈ 0,7)
• 4. Eulerfoi: beide eigspaunt (β = 0,5)

$l_{k}=\beta \cdot l$

mit:

• l_k ... Knicklängan [m]
• β ... Knicklängenbeiweat [-]
• l ... Stoblängan [m]

De Eiropäischn Knicklinian a₀, a, b, c und d, rechts is no de Euler-Hyperbl eizeichnat (siehe untn)

Zuauadnungstaböön, wos fiara Knicklinian bei wöchn Queaschnitt moßgeband is

Ausm Queaschnitt kriagst ihn Trägheitsradius, und draus de Schlaunkheit. Ois nächstas schaust, wos fiara Achsn dass de moßgebande is, des is dejenige mit da gressan Schlaunkheit. Mit dera rechnast da de Bezuagsschlaunkheit und ihn Schlaunkheitsgrod aus. Mim Schlaunkheitsgrod gehst in de Taböön vo de Eiropäischn Knicklinian eine, wost an Ohmindarungsfaktoa χ fia Knickn ausse kriagst und nocha kaunst gaunz noamäu ihn Nochweis fiahrn. De Kroft, wos aufn Stob kummt, muass kloana sei ois wia des, wos a inkl. Ohmindarungsfaktoa aushoidt.

$N_{b,Rd}=\chi \cdot N_{pl,Rd}={\frac {\chi \cdot A\cdot f_{y}}{\gamma _{M1}}}$

$N_{Ed}\leq N_{b,Rd}$

mit:

• N_b,Rd ... Bemessungsweat vo da Noamäukroft fia auf Knickn beaunspruchte Bautäu [kN]
• N_pl,Rd ... Bemessungsweat vo da Noamäukroft [kN]
• N_Ed ... Eiwiakande Noamäukroft [kN]
• χ ... Ohmindarungsfaktoa fias Knickn [-]
• A ... Queaschnittsflächn [cm²]
• f_y ... Fliaßgrenzn van Stoi [kN/cm²]
• γ_M1 ... Täusichaheitsbeiweat fia de Widastaundsseitn bei Stabilitätsvasogn [-], γ_M1 = 1,0

De Knicklinian lossn se aa mit ana Fuaml beschrei'm, owa wäu ma de in da Praxis ned wiakli braucht, loss ma's bleim. Wems intressiat, se stengan untahoib vo da Zuauadnungstaböön rechts.

Eulersche Knicklost und Euler-Hyperbl

Ma kau se des gaunze aa umkeaht auschaun, und zwoa, bei wos fia ana Lost dass a Druckstob ausknickt. Des is de Eulersche Knicklost oda Vazweigungslost, des hoaßt, de Lost, wo de Gleichgewichtslogn vom stabüün in labüün Zuastaund iwageht. Des Biegemaument M(x), wosd duach de Vafuamung van Stob zuasätzli einekriagst, beträgt an da Stöön x vom um w(x) ausglenktn Stob:

$M(x)=N\cdot w(x)$

De zweite Ohleitung vo da Auslenkung is de Krümmung, waunst de Biegesteifigkeit E · I brücksichtigst:

$w''(x)=-{\frac {M(x)}{E\cdot I}}=-{\frac {N\cdot w(x)}{E\cdot I}}$

Und de setzt gleich Nui, nocha kriagst a Diffenziäugleichung zweita Uadnung:

$w''(x)+{\frac {N\cdot w(x)}{E\cdot I}}=0$

De Lösung vo dera Differenziäugleichung, waunst fia w(0) = w(l) = 0 eisetzt und des gaunze noch N umfuamst, is:

$N_{ki}={\frac {\pi ^{2}\cdot E\cdot I}{l_{k}^{2}}}$

mit:

• N_ki ... Eulersche Knicklost (maximoi aufnehmbore Noamäukroft) [kN]
• π ... Kreiszoi, π ≈ 3,14
• E ... Elastizitätsmodui [kN/cm²]
• I ... Trägheitsmaument [cm⁴]
• l_k ... Knicklängan [cm]

Aus da Eulerschen Vazweigugslost kaunst de zuaghearige Vazweigungsspaunnung eamittln.

$\sigma _{ki}={\frac {N_{ki}}{A}}={\frac {\pi ^{2}\cdot E\cdot I}{A\cdot l_{k}^{2}}}={\frac {\pi ^{2}\cdot E}{\lambda ^{2}}}$

mit:

• σ_ki ... Vazweigungsspaunnung [kN/cm²]
• A ... Queaschnittsflächn [cm²]
• λ ... Schlaunkheit [-]

Des is de Gleichung vo da Euler-Hyperbl, de güüt fia olle Stäbe mit ideäuelostischm-ideäuplastischm Weakstoff, solaung de Vazweigungsspaunnung kloana is ois wia de Fliaßgrenzn.

Schau aa

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