Spaunnung

De mechaunische Spaunnung σ (dt. mechanische Spannung) is a auf a Flächneiheit bezogane Kroft. De Eiheit vo da Spaunnung is Newton pro Quadrotmeda oda Pascal. [σ] = N/m² oda Pa.

\sigma ={\frac {F}{A}}

mit:

σ ... Spaunnung [N/m²]
F ... Kroft [N]
A ... Flächn [m²]

Noamäuspaunnung und Biegespaunnung

A (Biege-) Noamäuspaunnung wiakt noamäu zua betrochtetn Flächn

Noamäu- und Biegespaunnungan wiakn noamäu zua Queaschnittsflächn. De Noamäuspaunnung kriagst duach a Noamäukroft eine, wauns positiav is, nocha is a Zugkroft und wauns negatiav is, daun is a Druckkroft. De entsprachnde Spaunnung nennt ma aa Zug- bzw. Druckspaunnung. De Biegespaunnung entsteht duach a Biegemaument. Se is bei an positiavn Maument untn positiav (Zugspaunnung) und obm negatiav (Druckspaunnung).

\sigma ={\frac {N}{A}}+{\frac {M_{y}}{I_{y}}}\cdot z-{\frac {M_{z}}{I_{z}}}\cdot y

mit:

σ ... (Biege-) Noamäuspaunnung [kN/cm²]
N ... Noamäukroft [kN]
A ... Queaschnittsflächn [cm²]
M_y, M_z ... Biegemaument um de y- bzw. z-Axn [kNcm]
I_y, I_z ... Trägheitsmaument fia de y- bzw. z-Axn [cm⁴]
y, z ... Ohstaund vom Schweapunkt in y- bzw. z-Richtung bis zu dera Stöö, wosd de Spaunnung rechna wüsd [cm]

Bei dopplsymmetrischn Queaschnittn kau ma des vakiazn zua:

\sigma ={\frac {N}{A}}+{\frac {M_{y}}{W_{y}}}-{\frac {M_{z}}{W_{z}}}

mit:

W_y, W_z ... Widastaundsmaument fia de y- bzw. z-Axn [cm³]

Bemessung

De Bemessung, des is de Festlegung vo de Queaschnittsohmessungan, eafuigt umgekeaht. Fia des nimmst da de söwe Fuaml hea und fuamst das um, auf des, wosd wissn wüsd. Zan Beispü, waunst vo an Biegeträga aus C 25/30 de eafuadaliche Hechn ausrechna wüsd:

Da nimmst da de Spaunnungsfuaml hea:

\sigma ={\frac {M_{y}}{W_{y}}}

De muasst umfuaman noch W:

W_{erf}={\frac {M_{y}}{\sigma _{Rd}}}

So kriagst des eafuadaliche Widastaundsmaument ausse, fias M setzst dei Maument aus da Trägalehr' ei. Ois Spaunnung nimmst des hea, wos da Bedau maximoi aushoit, des san bei an C 25/30 σ_Rk = 25 N/mm² oiso 2,5 kN/cm². Do wiad no a Sichaheit eigrechnat, oiso nimmst σ_Rd = 1,33 kN/cm² au. Nocha nimmst de Fuaml fia's Widastaundsmaument hea, de muasst noch da Hechn umfuaman und itaratiav a Broadn aunehma.

W_{y}={\frac {b\cdot h^{2}}{6}}

h={\sqrt {\frac {6\cdot W_{y}}{b}}}

Schubspaunnung

Schubspaunnungan wiakn parallöö zua Schnittflächn. Se wean duach Queakräft' und Toasiaunsmaumente vauasocht.

\tau ={\frac {V_{z}\cdot S_{y}}{I_{y}\cdot t}}

\tau ={\frac {V_{y}\cdot S_{z}}{I_{z}\cdot t}}

\tau ={\frac {T}{I_{T}}}\cdot t

mit:

τ ... Schubspaunnung [kN/cm²]
V_y, V_z ... Queakroft in y- bzw. z-Richtung [kN]
S_y, S_z ... Statisches Maument fia de y- bzw. de z-Axn [cm³]
I_y, I_z ... Trägheitsmaument fia de y- bzw. z-Axn [cm⁴]
t ... Broadn vom Träga (bei Stoiprofüün de Stegdickn) [cm]
T ... Toasiaunsmaument [kNcm]
I_T ... Toasiaunsträgheitsmaument (ohhängig vom Queaschnitt) [cm⁴]

Vagleichsspaunnung

Waun ma an Träga haum, dea wos scho zua 100% vo da (Biege-) Noamäuspaunnung ausglost' is, wiad a koa Queakroft, des hoaßt Schubspaunnung, meah aufnehman kenna. Oiso muass ma's so mochn, dass ma de (Biege-) Noamäuspaunnung und de Schubspaunnung mitanaund kombiniat, des is de sognaunte Vagleichsspaunnung. De is vua oim im Stoibau vo Bedeitung.

\sigma _{v}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}-\sigma _{x}\cdot \sigma _{y}-\sigma _{x}\cdot \sigma _{z}-\sigma _{y}\cdot \sigma _{z}+3\cdot (\tau _{xy}^{2}+\tau _{xz}^{2}+\tau _{yz}^{2})}}

mit:

σ_v ... Vagleichsspaunnung [kN/cm²]
σ_x,y,z ... (Biege-) Noamäuspaunnungan (in x-, y-, z-Richtung) [kN/cm²]
τ_xy,xz,yz ... Schubspaunnungan (da easchte Index gibt au, auf wos fia an Schnittufa de Schubspaunnung wiakt; da zweite de Richtung, in de's wiakt) [kN/cm²]

Schau aa